Questão 2. (Equação de Euler) Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b. x^2 y'' - 3x y' + 4x = 0, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre Equações de Euler, que são um tipo especial de equações diferenciais. A gente precisa encontrar um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral dessa equação:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas específicas para equações de Euler, como substituição e resolução da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Euler tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Note que o termo independente é , o que nos indica que a equação não é homogênea. Mas vamos resolver a parte homogênea primeiro.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, fazemos uma substituição comum nas Equações de Euler:
E assim, substituímos as derivadas em relação a por derivadas em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Simplificando:
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação diferencial homogênea associada:
A equação característica é:
Resolvendo:
Então, as raízes são e .

Passo 6

As soluções fundamentais da equação homogênea são:
Voltando à variável original , já que :

Passo 7

Agora, encontramos a solução particular para a equação completa:
Vamos tentar uma solução da forma .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Voltando para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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