Questão 2. (Equação de Euler) Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre Equações de Euler, que são um tipo especial de equações diferenciais. A gente precisa encontrar um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral dessa equação:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas específicas para equações de Euler, como substituição e resolução da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Euler tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Note que o termo independente é
, o que nos indica que a equação não é homogênea. Mas vamos resolver a parte homogênea primeiro.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, fazemos uma substituição comum nas Equações de Euler:
E assim, substituímos as derivadas em relação a
por derivadas em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Simplificando:
Como
, substituímos:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação diferencial homogênea associada:
A equação característica é:
Resolvendo:
Então, as raízes são
e
.
Passo 6
As soluções fundamentais da equação homogênea são:
Voltando à variável original
, já que
:
Passo 7
Agora, encontramos a solução particular para a equação completa:
Vamos tentar uma solução da forma
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Voltando para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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.
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, em que
e
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ao ponto
.