Determine o trabalho feito pelo campo de força
ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho feito por um campo de força específico ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a trajetória, calcular o campo de força ao longo dessa trajetória e, finalmente, realizar a integral que representa o trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
feito por um campo de força
ao mover uma partícula ao longo de uma trajetória
é dado pela integral de linha:
Aqui,
representa um elemento infinitesimal da trajetória.
Passo 3
A trajetória é dada por um quarto de círculo parametrizado por:
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
no campo de força
:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Para resolver essa integral, usamos a substituição
, então . A integral fica:
Calculando a integral:
Lembrando que o sinal negativo original se cancela, o trabalho é negativo:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
.
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Questão 2. (Equação de Euler) Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b.
b.
Calcule a integral
, em que
e
é o segmento de reta que vai do ponto
ao ponto
.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
quando um objeto é movido de um ponto
a um ponto
. (Aqui é necessário verificar que é conservativo e obter sua função potencial.)