Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y) = x^2 i - x y j ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i + sen(t)j, 0 <= t <= pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho feito por um campo de força específico ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a trajetória, calcular o campo de força ao longo dessa trajetória e, finalmente, realizar a integral que representa o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho feito por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de uma trajetória é dado pela integral de linha:
Aqui, representa um elemento infinitesimal da trajetória.

Passo 3

A trajetória é dada por um quarto de círculo parametrizado por:
Para encontrar , vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir no campo de força :

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Para resolver essa integral, usamos a substituição , então . A integral fica:
Calculando a integral:
Lembrando que o sinal negativo original se cancela, o trabalho é negativo:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é .

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