Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em x0=0. Além disso, para algum número real r, determine uma solução em séries de potências da forma y(x)=x^r sumn=0^infty x^n=sumn=0^infty x^r+n.
x y^prime prime+3 y^prime-y=0,

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O enunciado nos pede para mostrar que a equação diferencial x y'' + 3 y' - y = 0 tem um ponto singular regular em x0 = 0. Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências na forma y(x) = x^r sumn=0^infty x^n = sumn=0^infty x^r+n. Para isso, vamos usar conhecimentos de pontos singulares em equações diferenciais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0
o ponto x0 é um ponto singular se P(x0) = 0. Além disso, esse ponto é chamado de regular se as funções Q(x)P(x) e R(x)P(x) tiverem polos de ordem no máximo 1 e 2, respectivamente, em x0.

Passo 3

Vamos identificar P(x), Q(x) e R(x) na nossa equação:
x y'' + 3 y' - y = 0
Aqui, temos:
  • P(x) = x
  • Q(x) = 3
  • R(x) = -1
Agora, verificamos se x0 = 0 é um ponto singular. Como P(0) = 0, de fato, x0 = 0 é um ponto singular.

Passo 4

Agora, vamos checar se esse ponto singular é regular. Calculamos:
Q(x)P(x) = 3x, R(x)P(x) = -1x
Aqui, 3x tem um polo de ordem 1 e -1x também tem um polo de ordem 1, que é menor ou igual a 2 exigido para regularidade. Portanto, x0 = 0 é um ponto singular regular.

Passo 5

Agora que estabelecemos que x0 = 0 é um ponto singular regular, vamos buscar uma solução em série de potências da forma:
y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n = sumn=0^infty an x^r+n
Nos passos seguintes, vamos substituir essa expressão na equação diferencial e encontrar os coeficientes an e o expoente r.

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas de y(x):
y'(x) = sumn=0^infty an (r + n) x^r + n -1
y''(x) = sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n -2

Passo 7

Substituímos y, y' e y'' na equação diferencial:
x cdot y'' + 3 y' - y = 0
Substituindo:
x ( sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n -2 ) + 3 ( sumn=0^infty an (r + n) x^r + n -1 ) - sumn=0^infty an x^r + n = 0

Passo 8

Simplificamos cada termo:
  1. Para o termo com y'':
x cdot y'' = sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n -1
  1. Para o termo com y':
3 y' = 3 sumn=0^infty an (r + n) x^r + n -1
  1. Para o termo com y:
- y = - sumn=0^infty an x^r + n

Passo 9

Agora, combinamos todos os termos:
sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n -1 + 3 sumn=0^infty an (r + n) x^r + n -1 - sumn=0^infty an x^r + n = 0
Para facilitar, vamos ajustar os índices para que todas as somas tenham o mesmo expoente de x. Observamos que no terceiro termo temos x^r + n, então fazemos uma mudança de índice n to n-1:
sumn=0^infty an (r + n)(r + n -1) x^r + n -1 + 3 sumn=0^infty an (r + n) x^r + n -1 - sumn=1^infty an-1 x^r + n -1 = 0

Passo 10

Agora, agrupamos os termos:
sumn=0^infty [ an (r + n)(r + n -1) + 3 an (r + n) - an-1 ] x^r + n -1 = 0
Para que essa igualdade valha para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser zero. Ou seja:
an (r + n)(r + n -1) + 3 an (r + n) - an-1 = 0 para todo n >= 0

Passo 11

Primeiro, consideramos o caso n=0 para encontrar o valor de r. Substituímos n=0 na equação:
a0 (r + 0)(r + 0 -1) + 3 a0 (r + 0) - a-1 = 0
Como a-1 não existe (assumimos a-1 = 0), fica:
a0 r(r -1) + 3 a0 r = 0 a0 [r(r -1) + 3 r] = 0 a0 [r^2 - r + 3r] = 0 a0 (r^2 + 2r) = 0
Como a0 neq 0 (caso trivial), temos:
r^2 + 2r = 0 r(r + 2) = 0
Portanto, r = 0 ou r = -2.

Passo 12

Vamos escolher r=0 para encontrar a solução. (A outra solução com r=-2 seguiria um procedimento similar.)
Agora, para n >= 1, a equação recorrente é:
an (r + n)(r + n -1) + 3 an (r + n) - an-1 = 0
Com r=0, temos:
an (n)(n -1) + 3 an (n) - an-1 = 0 an [n(n -1) + 3n] = an-1 an [n^2 - n + 3n] = an-1 an (n^2 + 2n) = an-1 an = an-1n(n + 2)

Passo 13

Agora, encontramos uma relação para os coeficientes an em termos de an-1:
an = an-1n(n + 2)
Podemos usar essa relação para encontrar os coeficientes sucessivos, começando com a0.

Passo 14

Vamos calcular alguns coeficientes:
  1. Para n=1:
a1 = a01 cdot 3 = a03
  1. Para n=2:
a2 = a12 cdot 4 = a03 cdot 2 cdot 4 = a024
  1. Para n=3:
a3 = a23 cdot 5 = a024 cdot 3 cdot 5 = a0360
E assim por diante. Observamos que os coeficientes seguem uma sequência que envolve produtos dos números naturais.

Passo 15

Podemos expressar o coeficiente geral an da seguinte forma:
an = a0n! cdot (n + 2)
Isso resulta da multiplicação das relações de recorrência para cada n.

Passo 16

Com todos os coeficientes determinados, a solução em série de potências para r=0 é:
y(x) = a0 (1 + x3 + x^224 + x^3360 + cdots )
Podemos fatorar a0 e, para simplificar, escolher a0 = 1 (já que a solução é determinada até uma constante multiplicativa):
y(x) = 1 + x3 + x^224 + x^3360 + cdots

Resposta

A equação diferencial x y'' + 3 y' - y = 0 possui um ponto singular regular em x0=0. Uma solução em série de potências para r=0 é:
y(x) = 1 + x3 + x^224 + x^3360 + cdots

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