Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O enunciado nos pede para mostrar que a equação diferencial tem um ponto singular regular em . Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências na forma . Para isso, vamos usar conhecimentos de pontos singulares em equações diferenciais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
o ponto é um ponto singular se . Além disso, esse ponto é chamado de regular se as funções e tiverem polos de ordem no máximo 1 e 2, respectivamente, em .

Passo 3

Vamos identificar , e na nossa equação:
Aqui, temos:
Agora, verificamos se é um ponto singular. Como , de fato, é um ponto singular.

Passo 4

Agora, vamos checar se esse ponto singular é regular. Calculamos:
Aqui, tem um polo de ordem 1 e também tem um polo de ordem 1, que é menor ou igual a 2 exigido para regularidade. Portanto, é um ponto singular regular.

Passo 5

Agora que estabelecemos que é um ponto singular regular, vamos buscar uma solução em série de potências da forma:
Nos passos seguintes, vamos substituir essa expressão na equação diferencial e encontrar os coeficientes e o expoente .

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 8

Simplificamos cada termo:
  1. Para o termo com :
  1. Para o termo com :
  1. Para o termo com :

Passo 9

Agora, combinamos todos os termos:
Para facilitar, vamos ajustar os índices para que todas as somas tenham o mesmo expoente de . Observamos que no terceiro termo temos , então fazemos uma mudança de índice :

Passo 10

Agora, agrupamos os termos:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Ou seja:

Passo 11

Primeiro, consideramos o caso para encontrar o valor de . Substituímos na equação:
Como não existe (assumimos ), fica:
Como (caso trivial), temos:
Portanto, ou .

Passo 12

Vamos escolher para encontrar a solução. (A outra solução com seguiria um procedimento similar.)
Agora, para , a equação recorrente é:
Com , temos:

Passo 13

Agora, encontramos uma relação para os coeficientes em termos de :
Podemos usar essa relação para encontrar os coeficientes sucessivos, começando com .

Passo 14

Vamos calcular alguns coeficientes:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes seguem uma sequência que envolve produtos dos números naturais.

Passo 15

Podemos expressar o coeficiente geral da seguinte forma:
Isso resulta da multiplicação das relações de recorrência para cada .

Passo 16

Com todos os coeficientes determinados, a solução em série de potências para é:
Podemos fatorar e, para simplificar, escolher (já que a solução é determinada até uma constante multiplicativa):

Resposta

A equação diferencial possui um ponto singular regular em . Uma solução em série de potências para é:

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