Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Passo 1
Beleza! Vamos lá. O enunciado nos pede para mostrar que a equação diferencial
tem um ponto singular regular em
. Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências na forma
. Para isso, vamos usar conhecimentos de pontos singulares em equações diferenciais e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular regular. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
o ponto
é um ponto singular se
. Além disso, esse ponto é chamado de regular se as funções
e
tiverem polos de ordem no máximo 1 e 2, respectivamente, em
.
Passo 3
Vamos identificar
,
e
na nossa equação:
Aqui, temos:
Agora, verificamos se
é um ponto singular. Como
, de fato,
é um ponto singular.
Passo 4
Agora, vamos checar se esse ponto singular é regular. Calculamos:
Aqui,
tem um polo de ordem 1 e
também tem um polo de ordem 1, que é menor ou igual a 2 exigido para regularidade. Portanto,
é um ponto singular regular.
Passo 5
Agora que estabelecemos que
é um ponto singular regular, vamos buscar uma solução em série de potências da forma:
Nos passos seguintes, vamos substituir essa expressão na equação diferencial e encontrar os coeficientes
e o expoente
.
Passo 6
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 8
Simplificamos cada termo:
- Para o termo com
:
- Para o termo com
:
- Para o termo com
:
Passo 9
Agora, combinamos todos os termos:
Para facilitar, vamos ajustar os índices para que todas as somas tenham o mesmo expoente de
. Observamos que no terceiro termo temos
, então fazemos uma mudança de índice
:
Passo 10
Agora, agrupamos os termos:
Para que essa igualdade valha para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Ou seja:
Passo 11
Primeiro, consideramos o caso
para encontrar o valor de
. Substituímos
na equação:
Como
não existe (assumimos
), fica:
Como
(caso trivial), temos:
Portanto,
ou
.
Passo 12
Vamos escolher
para encontrar a solução. (A outra solução com
seguiria um procedimento similar.)
Agora, para
, a equação recorrente é:
Com
, temos:
Passo 13
Agora, encontramos uma relação para os coeficientes
em termos de
:
Podemos usar essa relação para encontrar os coeficientes sucessivos, começando com
.
Passo 14
Vamos calcular alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes seguem uma sequência que envolve produtos dos números naturais.
Passo 15
Podemos expressar o coeficiente geral
da seguinte forma:
Isso resulta da multiplicação das relações de recorrência para cada
.
Passo 16
Com todos os coeficientes determinados, a solução em série de potências para
é:
Podemos fatorar
e, para simplificar, escolher
(já que a solução é determinada até uma constante multiplicativa):
Resposta
A equação diferencial
possui um ponto singular regular em
. Uma solução em série de potências para
é:
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onde possa garantir que isso aconteça.
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, onde
é campo vetorial
1)
, ao longo de qualquer caminho que une o ponto
a
.
Verifique que o campo vetorial
é um campo conservativo em
e calcule
ao longo de qualquer caminho
de
até
.
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,