Considere o campo vetorial
.
(b) Calcule a integral
onde
é a curva com equações paramétrias
(b) Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha no campo vetorial
ao longo de uma curva
que é descrita por
e
para
variando de
a
.
A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular os componentes da integral e, possivelmente, simplificar usando propriedades do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é dada por:
Aqui,
e
. Nossa tarefa é calcular essa integral ao longo da curva
.
Passo 3
Vamos usar a parametrização dada para a curva
:
Para calcular a integral, precisamos achar
e
em termos de
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na expressão da integral:
Essa expressão parece bem complicada, mas vamos tentar simplificar.
Passo 5
Observando a estrutura do campo vetorial
, vemos que ele é da forma:
Esse campo é parecido com o campo conservativo derivado de uma função potencial. No entanto, note que
está no denominador, o que indica uma singularidade no ponto
.
Passo 6
Uma maneira inteligente de resolver essa integral é notar que
pode ser relacionado ao gradiente de uma função escalar, mas devido à singularidade, podemos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla.
O Teorema de Green diz que:
Aqui,
e
.
Passo 7
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Então,
Passo 8
Com a integral dupla sendo zero, concluímos que a integral de linha também é zero:
Isso acontece porque o campo
é conservativo em regiões onde
e nossa curva
não envolve a singularidade no ponto
.
Resposta
A integral
vale 0.