Considere o campo vetorial F(x, y)=xx^2+y^2 i+yx^2+y^2 j.
(b) Calcule a integral ointC F cdot d r onde C é a curva com equações paramétrias
x=1-e^sen(t), y=1-e^cos (t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha no campo vetorial ao longo de uma curva que é descrita por e para variando de a .
A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular os componentes da integral e, possivelmente, simplificar usando propriedades do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha de um campo vetorial ointC F cdot dr = ointC ( Fx , dx + Fy , dy ) ao longo de uma curva é dada por:
Aqui, e . Nossa tarefa é calcular essa integral ao longo da curva .

Passo 3

Vamos usar a parametrização dada para a curva x(t) = 1 - e^sin(t) :
y(t) = 1 - e^cos(t)
0 <= t <= 2pi
dx = ddt[1 - e^sin(t)] , dt = -e^sin(t) cos(t) , dt
Para calcular a integral, precisamos achar dy = ddt[1 - e^cos(t)] , dt = e^cos(t) sin(t) , dt e em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos ointC F cdot dr = integral0^2pi ( 1 - e^sin(t)(1 - e^sin(t))^2 + (1 - e^cos(t))^2 cdot (-e^sin(t) cos(t)) + 1 - e^cos(t)(1 - e^sin(t))^2 + (1 - e^cos(t))^2 cdot e^cos(t) sin(t) ) dt , , e na expressão da integral:
Essa expressão parece bem complicada, mas vamos tentar simplificar.

Passo 5

Observando a estrutura do campo vetorial F(x, y) = xx^2 + y^2 i + yx^2 + y^2 j , vemos que ele é da forma:
Esse campo é parecido com o campo conservativo derivado de uma função potencial. No entanto, note que está no denominador, o que indica uma singularidade no ponto .

Passo 6

Uma maneira inteligente de resolver essa integral é notar que ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA pode ser relacionado ao gradiente de uma função escalar, mas devido à singularidade, podemos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla.
O Teorema de Green diz que:
Aqui, e .

Passo 7

Calculando as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x( yx^2 + y^2 ) = -2xy(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = partialpartial y( xx^2 + y^2 ) = -2xy(x^2 + y^2)^2
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2 - ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) = 0

Passo 8

Com a integral dupla sendo zero, concluímos que a integral de linha também é zero:
ointC F cdot dr = 0
Isso acontece porque o campo é conservativo em regiões onde e nossa curva não envolve a singularidade no ponto .

Resposta

A integral vale 0.

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Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) f(x) = x^2 + x + 1 em p = 1
Considere o campo vetorial F(x, y)=(2 x y-3) i+(x^2+e^2 y) j no plano.
c) Utilize a função potencial para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é qualquer curva suave com ponto inicial (0,0), e ponto final (-1,0).