Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) f(x) = x^2 + x + 1 em p = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade. Na matemática, uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar entender como calcular limites e aplicar isso na nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo por 1 na função:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a 1. Para funções polinomiais, como a nossa, podemos simplesmente substituir por 1:
Portanto, o limite de quando se aproxima de 1 é 3.

Passo 4

Comparamos o limite com o valor da função no ponto. Vimos que:
Como os dois são iguais, isso confirma que a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua no ponto porque .

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Considere o campo vetorial F(x, y)=xx^2+y^2 i+yx^2+y^2 j.
(b) Calcule a integral ointC F cdot d r onde C é a curva com equações paramétrias
x=1-e^sen(t), y=1-e^cos (t), 0 <= t <= 2 pi
Calcule a integral integralC-y d x+x d y onde C é uma curva suave que percorre a elipse x^23+y^25=1 no sentido anti-horário, uma única vez.
Considere o campo vetorial F(x, y)=(2 x y-3) i+(x^2+e^2 y) j no plano.
c) Utilize a função potencial para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é qualquer curva suave com ponto inicial (0,0), e ponto final (-1,0).
Sabe-se que f é contínua em p = 2 e que f(2) = 8. Mostre que existe delta > 0 tal que para todo x em Df,
2 - delta < x < 2 + delta => f(x) > 7