Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) f(x) = x^2 + x + 1 em p = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade. Na matemática, uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Vamos precisar entender como calcular limites e aplicar isso na nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo por 1 na função:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a 1. Para funções polinomiais, como a nossa, podemos simplesmente substituir por 1:
Portanto, o limite de quando se aproxima de 1 é 3.

Passo 4

Comparamos o limite com o valor da função no ponto. Vimos que:
Como os dois são iguais, isso confirma que a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua no ponto porque .

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