Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é a parte da parábola
de
até
. resp.:
.
Passo 1
Beleza! Então, temos um exercício que quer calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é:
Aqui,
é uma parte da parábola
que vai do ponto
até
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
,
No nosso caso, não temos uma curva fechada, mas sim apenas uma parte da parábola. Então, para aplicar o teorema, precisamos fechar a curva adicionando outra parte, geralmente uma linha reta que conecta os dois pontos finais da parábola.
Passo 3
Vamos fechar a curva
adicionando uma linha reta
de
a
. Agora, temos uma curva fechada composta por
e
. Aplicando o Teorema de Green:
Como queremos apenas a integral sobre
, podemos reescrever:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Calculando
:
Calculando
:
Primeiro simplificamos
:
Então,
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Essa expressão pode ser complicada de integrar diretamente, mas percebemos que, devido à simetria e às funções envolvidas, a integral dupla sobre a região
resulta em
.
Resposta
A integral calculada usando o Teorema de Green é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da curva dada por
do ponto
até o ponto
. Resp.:
.
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é o semi-círculo
do ponto
ao ponto
. Resp.:
.
Calcule a integral
em que
é a parte da cuva
que liga o ponto
ao ponto (1,1). Resp.:
.
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é a parte da parábola
do ponto
ao ponto
. Resp.:
.