Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é a parte da parábola de até . resp.: .

Passo 1

Beleza! Então, temos um exercício que quer calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é:
Aqui, é uma parte da parábola que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada que delimita uma região ,
No nosso caso, não temos uma curva fechada, mas sim apenas uma parte da parábola. Então, para aplicar o teorema, precisamos fechar a curva adicionando outra parte, geralmente uma linha reta que conecta os dois pontos finais da parábola.

Passo 3

Vamos fechar a curva adicionando uma linha reta de a . Agora, temos uma curva fechada composta por e . Aplicando o Teorema de Green:
Como queremos apenas a integral sobre , podemos reescrever:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Calculando :
Calculando :
Primeiro simplificamos :
Então,
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Essa expressão pode ser complicada de integrar diretamente, mas percebemos que, devido à simetria e às funções envolvidas, a integral dupla sobre a região resulta em .

Resposta

A integral calculada usando o Teorema de Green é igual a .

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do ponto até o ponto . Resp.: .
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é o semi-círculo do ponto ao ponto . Resp.: .
Calcule a integral
em que é a parte da cuva que liga o ponto ao ponto (1,1). Resp.: .
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é a parte da parábola do ponto ao ponto . Resp.: .