Calcule a integral integralC raiz3 x y z d s, onde C é a curva de interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=16, x^2+y^2= 4 , situada no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral integralC raiz3 , x y z , ds, onde C é a curva de interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=16 e x^2+y^2=4, situada no primeiro octante. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais de linha, e para isso vamos precisar parametrizar a curva C e entender um pouco sobre geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies dadas:
  1. Esfera: x^2+y^2+z^2=16 é uma esfera com raio 4 centrada na origem.
  2. Cilindro: x^2+y^2=4 é um cilindro circular com raio 2, também centrado na origem e alinhado ao eixo z.
A interseção dessas duas superfícies forma uma curva C. No primeiro octante, onde x, y, z >= 0, essa curva será uma círculo na parte superior da esfera.

Passo 3

Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva C. Observando as equações:
  • A equação do cilindro nos dá x^2 + y^2 = 4, o que sugere que podemos usar coordenadas polares no plano xy.
  • A esferica nos dá z = raiz16 - x^2 - y^2 = raiz16 - 4 = raiz12 = 2raiz3.
Então, a curva C está no plano z = 2raiz3 com x^2 + y^2 = 4.

Passo 4

Vamos parametrizar C usando um ângulo theta:
x = 2costheta y = 2sintheta z = 2raiz3
onde theta varia de 0 a pi2 para cobrir o primeiro octante.

Passo 5

Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento ds. Com a parametrização:
dx = -2sintheta , dtheta dy = 2costheta , dtheta dz = 0
Então,
ds = raiz(dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 = raiz4sin^2theta + 4cos^2theta , dtheta = raiz4(sin^2theta + cos^2theta) , dtheta = 2 , dtheta

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:
integralC raiz3 , x y z , ds = integral0^pi2 raiz3 cdot (2costheta) cdot (2sintheta) cdot (2raiz3) cdot 2 , dtheta
Simplificando os coeficientes:
raiz3 cdot 2 cdot 2 cdot 2raiz3 cdot 2 = raiz3 cdot raiz3 cdot 16 = 3 cdot 16 = 48
Então, a integral fica:
48 integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta

Passo 7

A integral integral costheta sintheta , dtheta pode ser resolvida usando uma substituição simples. Seja u = sintheta, então du = costheta , dtheta. Assim:
48 integral0^pi2 u , du = 48 [ u^22 ]0^pi2 = 48 [ sin^2theta2 ]0^pi2
Calculando os limites:
sin(pi2) = 1 e sin(0) = 0
Então:
48 [ 12 - 0 ] = 48 cdot 12 = 24

Resposta

A integral vale 24.

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