Calcule a integral , onde é a curva de interseção das superfícies 4 , situada no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral , onde é a curva de interseção das superfícies e , situada no primeiro octante. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais de linha, e para isso vamos precisar parametrizar a curva e entender um pouco sobre geometria espacial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies dadas:
Esfera: é uma esfera com raio 4 centrada na origem.
Cilindro: é um cilindro circular com raio 2, também centrado na origem e alinhado ao eixo z.
A interseção dessas duas superfícies forma uma curva . No primeiro octante, onde , essa curva será uma círculo na parte superior da esfera.
Passo 3
Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva . Observando as equações:
A equação do cilindro nos dá , o que sugere que podemos usar coordenadas polares no plano xy.
A esferica nos dá .
Então, a curva está no plano com .
Passo 4
Vamos parametrizar usando um ângulo :
onde theta varia de 0 a pi2 para cobrir o primeiro octante.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento ds. Com a parametrização:
A integral integral costheta sintheta , dtheta pode ser resolvida usando uma substituição simples. Seja u = sintheta, então du = costheta , dtheta. Assim:
48 integral0^pi2 u , du = 48 [ u^22 ]0^pi2 = 48 [ sin^2theta2 ]0^pi2