Calcule integralC x d S, para cada uma das curvas:
(a) C1: y=x^2,-1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral para a curva no intervalo . Isso é uma integral de linha onde estamos integrando a função ao longo do comprimento da curva. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, calcular o elemento de comprimento e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como x = t y = t^2 , podemos usar como parâmetro. Então, temos:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento dS = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . A fórmula para dxdt = 1 e dydt = 2t em termos de dS = raiz1^2 + (2t)^2 , dt = raiz1 + 4t^2 , dt é:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original:
integralC x , dS = integral-1^1 t cdot raiz1 + 4t^2 , dt

Passo 5

Observando a integranda , percebemos que ela é uma função ímpar porque:
  • é ímpar ( )
  • é par ( )
Multiplicando uma função ímpar por uma par resulta em uma função ímpar. A propriedade de funções ímpares diz que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero.

Passo 6

Aplicando essa propriedade, temos:
integral-1^1 t cdot raiz1 + 4t^2 , dt = 0

Resposta

O valor da integral é .

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