Calcule
, para cada uma das curvas:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral
para a curva
no intervalo
. Isso é uma integral de linha onde estamos integrando a função
ao longo do comprimento da curva. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, calcular o elemento de comprimento
e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como
, podemos usar
como parâmetro. Então, temos:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento
. A fórmula para
em termos de
é:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral original:
Passo 5
Observando a integranda
, percebemos que ela é uma função ímpar porque:
-
é ímpar ( ) -
é par ( )
Multiplicando uma função ímpar por uma par resulta em uma função ímpar. A propriedade de funções ímpares diz que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero.
Passo 6
Aplicando essa propriedade, temos:
Resposta
O valor da integral é
.