Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
(b)
, C é o retângulo com vértices
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que a gente quer resolver é
, onde
é um retângulo com vértices em
,
,
e
. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
orientada positivamente (no sentido anti-horário) e uma região
limitada por
, temos:
Aqui,
e
. Nosso trabalho é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e então integrar a diferença sobre a área
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, a diferença que vamos integrar é:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. A região
é um retângulo com
variando de 0 a 5 e
variando de 0 a 2. Então, a integral dupla fica:
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Sabemos que
, então:
Agora, integramos isso em relação a
:
Calculando nos limites:
Resposta
A integral de linha é igual a
.