Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
(b) integralC cos (y) d x+x^2 sin (y) d y, C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,2) e (0,2).

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que a gente quer resolver é , onde é um retângulo com vértices em , , e . Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA orientada positivamente (no sentido anti-horário) e uma região limitada por , temos:
Aqui, e . Nosso trabalho é encontrar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e então integrar a diferença sobre a área .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^2 sin(y) ) = 2x sin(y)
partial Ppartial y = partialpartial y ( cos(y) ) = -sin(y)
Agora, a diferença que vamos integrar é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x sin(y) - (-sin(y)) = 2x sin(y) + sin(y) = sin(y)(2x + 1)

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. A região integral duplaD sin(y)(2x + 1) , dA = integral0^5 integral0^2 sin(y)(2x + 1) , dy , dx é um retângulo com integral0^2 sin(y)(2x + 1) , dy = (2x + 1) integral0^2 sin(y) , dy = (2x + 1) ( -cos(y) )0^2 = (2x + 1) ( -cos(2) + cos(0) ) variando de 0 a 5 e (2x + 1) ( 1 - cos(2) ) variando de 0 a 2. Então, a integral dupla fica:
integral0^5 (2x + 1) (1 - cos(2)) , dx = (1 - cos(2)) integral0^5 (2x + 1) , dx = (1 - cos(2)) ( x^2 + x )0^5
Vamos primeiro integrar em relação a (1 - cos(2)) ( 25 + 5 ) = 30 (1 - cos(2)) :
Sabemos que , então:
Agora, integramos isso em relação a :
Calculando nos limites:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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