Se de representa a densidade (massa por unidade de comprimento) de um arame C subset R^2, então integralC de representa a massa total do arame:
M=integralC de
Determine a massa de um fio com a forma da curva y=ln x, com raiz3 <= x <= raiz8, se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a massa de um fio que tem a forma da curva , no intervalo onde . A massa total do fio é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento do fio. Aqui, a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa ( ) do ponto. Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais de curtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a massa total M = integralC de de um fio:
Onde:
  • é a densidade no ponto .
  • é o elemento de comprimento ao longo do fio.
No nosso caso, a densidade .

Passo 3

Agora, precisamos expressar ds = raiz1 + ( dydx )^2 , dx em termos de dydx = ddx (ln x) = 1x . Para uma curva dada por ds = raiz1 + ( 1x )^2 , dx = raiz1 + 1x^2 , dx , o elemento de comprimento é dado por:
Vamos calcular :
Então,

Passo 4

Substituindo M = integralraiz3^raiz8 x^2 cdot raiz1 + 1x^2 , dx e raiz1 + 1x^2 = raizx^2 + 1x^2 = raizx^2 + 1x na fórmula da massa, temos:
M = integralraiz3^raiz8 x^2 cdot raizx^2 + 1x , dx = integralraiz3^raiz8 x cdot raizx^2 + 1 , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Para isso, fazemos uma substituição du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Então,
M = integral4^9 raizu cdot du2 = 12 integral4^9 u^1/2 , du
Quando , .
Quando , .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
12 integral u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C
Aplicando os limites de integração:
M = 13 [ u^3/2 ]4^9 = 13 ( 9^3/2 - 4^3/2 )
Calculando as potências:
9^3/2 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27
4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8
Então,
M = 13 (27 - 8) = 13 times 19 = 193 approx 6,333 unidades de massa

Resposta

A massa total do fio é unidades de massa, aproximadamente 6,333 unidades.

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