Se
representa a densidade (massa por unidade de comprimento) de um arame
, então
representa a massa total do arame:
Determine a massa de um fio com a forma da curva
, se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a massa de um fio que tem a forma da curva
, no intervalo onde
. A massa total do fio é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento do fio. Aqui, a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa (
) do ponto. Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais de curtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a massa total
de um fio:
Onde:
-
é a densidade no ponto . -
é o elemento de comprimento ao longo do fio.
No nosso caso, a densidade
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Para uma curva dada por
, o elemento de comprimento
é dado por:
Vamos calcular
:
Então,
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da massa, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Para isso, fazemos uma substituição
. Então,
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Calculando as potências:
Então,
Resposta
A massa total do fio é
unidades de massa, aproximadamente 6,333 unidades.