Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3 dada pela interseção das seguintes superfícies:
(f) z = 1 - y², z ≥ 0 e 2x + 3z = 6 de 3,1,0 a (3, -1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma parametrização diferenciável para a curva que é a interseção das superfícies (com ) e , indo do ponto até . Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as duas superfícies. A primeira é , que é uma parábola invertida em e abre para baixo, com o vértice em . A condição nos diz que estamos apenas na parte da parábola onde , ou seja, varia entre -1 e 1.

Passo 3

A segunda superfície é um plano dado por . Podemos reescrever isso para isolar :
Isso nos ajuda a relacionar e na curva de interseção.

Passo 4

Como estamos procurando a curva de interseção, podemos substituir a expressão de da primeira equação na segunda:
Então, temos em termos de .

Passo 5

Agora, sabemos que . Então, podemos parametrizar a curva em termos de . Vamos deixar ser o nosso parâmetro, digamos , onde varia de -1 a 1.

Passo 6

Com isso, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de -1 a 1 para cobrir todos os pontos da curva desde até .

Resposta

A parametrização diferenciável para a curva é:

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