Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva em dada pela interseção das seguintes superfícies:
(f) e de a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma parametrização diferenciável para a curva que é a interseção das superfícies (com ) e , indo do ponto até . Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as duas superfícies. A primeira é , que é uma parábola invertida em e abre para baixo, com o vértice em . A condição nos diz que estamos apenas na parte da parábola onde , ou seja, varia entre -1 e 1.
Passo 3
A segunda superfície é um plano dado por . Podemos reescrever isso para isolar :
Isso nos ajuda a relacionar e na curva de interseção.
Passo 4
Como estamos procurando a curva de interseção, podemos substituir a expressão de da primeira equação na segunda:
Então, temos em termos de .
Passo 5
Agora, sabemos que . Então, podemos parametrizar a curva em termos de . Vamos deixar ser o nosso parâmetro, digamos , onde varia de -1 a 1.
Passo 6
Com isso, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de -1 a 1 para cobrir todos os pontos da curva desde até .