Calcule a integral
onde
é o segmento de reta de
à
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. Aqui estamos lidando com cálculo de integrais de linha no plano complexo. Para resolver isso, precisamos parametrizar o caminho
que vai de
a
, e então usar a parametrização para transformar a integral em uma integral no intervalo de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho
. Sabemos que
é uma reta que vai de
a
. Podemos escrever essa parametrização como
, onde
varia de 0 a 1. Aqui,
corresponde a
e
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Derivando
, temos:
Passo 4
Também precisamos expressar
e
em termos de
. Sabendo que
, e usando a parametrização
, temos:
Passo 5
Substituímos
e
na função integranda
:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral original:
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Distribuindo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente de
a
:
Calculando cada integral:
Passo 9
Agora, somamos todas as integrais:
Simplificando:
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 12:
Resposta
A integral
vale
.