Calcule a integral integralC(x^2+i y^3) d z onde C é o segmento de reta de z=1 à z=i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integralC(x^2+i y^3) d z. Aqui estamos lidando com cálculo de integrais de linha no plano complexo. Para resolver isso, precisamos parametrizar o caminho C que vai de z=1 a z=i, e então usar a parametrização para transformar a integral em uma integral no intervalo de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho C. Sabemos que C é uma reta que vai de z=1 a z=i. Podemos escrever essa parametrização como z(t) = 1 + (i - 1)t, onde t varia de 0 a 1. Aqui, t=0 corresponde a z=1 e t=1 a z=i.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dz, que é a derivada de z(t) em relação a t. Derivando z(t) = 1 + (i - 1)t, temos:
dz = (i - 1) dt

Passo 4

Também precisamos expressar x e y em termos de t. Sabendo que z = x + iy, e usando a parametrização z(t) = 1 + (i - 1)t, temos:
x(t) = Re(z(t)) = 1 - t
y(t) = Im(z(t)) = t

Passo 5

Substituímos x(t) e y(t) na função integranda x^2 + i y^3:
x^2 + i y^3 = (1 - t)^2 + i t^3

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral original:
integralC(x^2+i y^3) d z = integral0^1 [(1 - t)^2 + i t^3] (i - 1) dt

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
[(1 - t)^2 + i t^3] (i - 1) = (1 - 2t + t^2)(i - 1) + i t^3(i - 1)
Distribuindo:
= (1 cdot i - 1 cdot 1 - 2t cdot i + 2t cdot 1 + t^2 cdot i - t^2 cdot 1) + (i t^3 cdot i - i t^3 cdot 1)
Simplificando:
= (i - 1 - 2ti + 2t + t^2i - t^2) + (-t^3 - i t^3)

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente de t=0 a t=1:
integral0^1 (i - 1) dt + integral0^1 (-2ti + 2t) dt + integral0^1 (t^2i - t^2) dt + integral0^1 (-t^3 - i t^3) dt
Calculando cada integral:
  1. integral0^1 (i - 1) dt = (i - 1) [t]0^1 = i - 1
  2. integral0^1 (-2ti + 2t) dt = -2i cdot 12 + 2 cdot 12 = -i + 1
  3. integral0^1 (t^2i - t^2) dt = i cdot 13 - 13 = i - 13
  4. integral0^1 (-t^3 - i t^3) dt = -14 - i cdot 14 = -1 + i4

Passo 9

Agora, somamos todas as integrais:
(i - 1) + (-i + 1) + i - 13 + (-1 + i4)
Simplificando:
0 + i - 13 - 1 + i4
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 12:
4(i - 1)12 - 3(1 + i)12 = 4i - 4 - 3 - 3i12 = i - 712

Resposta

A integral integralC(x^2+i y^3) d z vale dfraci - 712.

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