Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
integralC y e^z d z+x ln x d y-y d x,
C: x=e^t, y=2 t, z=ln t, 1 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão nos pede para calcular a integral ao longo da curva , que é definida pelas equações paramétricas , e para entre 1 e 2. Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha em espaços tridimensionais e substituir as variáveis paramétricas na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para calcular uma integral de linha como essa, precisamos parametrizar todas as variáveis em termos de x = e^t, y = 2t, z = ln t e também encontrar as derivadas dxdt = e^t, dydt = 2, dzdt = 1t , e .
Dadas as parametrizações:
Calculamos as derivadas em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na integral original. A integral é:
integralC y e^z , dz + x ln x , dy - y , dx
Substituindo y e^z = 2t cdot e^ln t = 2t cdot t = 2t^2 , x ln x = e^t cdot ln e^t = e^t cdot t = t e^t , - y = -2t e dz = 1t dt, dy = 2 dt, dx = e^t dt :
E os diferenciais:

Passo 4

Substituímos tudo na integral:
integral1^2 (2t^2 cdot 1t + t e^t cdot 2 - 2t cdot e^t) dt
Simplificando cada termo:
2t^2 cdot 1t = 2t
t e^t cdot 2 = 2t e^t
-2t cdot e^t = -2t e^t
Então a integral fica:
integral1^2 (2t + 2t e^t - 2t e^t) dt = integral1^2 2t , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar integral1^2 2t , dt = 2 integral1^2 t , dt = 2 [ t^22 ]1^2 = [ t^2 ]1^2 de 1 a 2:
2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3
Calculando:

Resposta

A integral de linha vale 3.

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