Calcule a integral de linha, em que
é a curva espacial fornecida.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão nos pede para calcular a integral ao longo da curva
, que é definida pelas equações paramétricas
,
e
para
entre 1 e 2. Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha em espaços tridimensionais e substituir as variáveis paramétricas na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para calcular uma integral de linha como essa, precisamos parametrizar todas as variáveis em termos de
e também encontrar as derivadas
,
e
.
Dadas as parametrizações:
Calculamos as derivadas em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões na integral original. A integral é:
Substituindo
,
,
e
:
E os diferenciais:
Passo 4
Substituímos tudo na integral:
Simplificando cada termo:
Então a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
de 1 a 2:
Calculando:
Resposta
A integral de linha vale 3.