Use o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que $\oint_{C} \frac{1}{z} d z=2 \pi i$, onde $C$ é um contorno fechado envolvendo a origem uma vez no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que faz parte do estudo de Cálculo Complexo. O problema pede para a gente provar que a integral de
ao longo de um contorno fechado
que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário é igual a
. Para isso, vamos precisar entender sobre integrais de contorno e singularidades de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de contorno. É basicamente uma integral feita ao longo de um caminho fechado no plano complexo. No nosso caso, o caminho
envolve a origem (onde
) uma vez no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, o Teorema de Cauchy-Goursat diz que se uma função
for analítica (ou seja, diferenciável em todos os pontos) em uma região fechada e sobre o contorno
, então a integral de
ao longo de
é zero:
Mas a função
não é analítica em
porque ela tem uma singularidade ali (o denominador z = 0).
Passo 4
Quando temos uma singularidade dentro do contorno
, o Teorema de Cauchy-Goursat não se aplica diretamente. Nesse caso, usamos o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular a integral. O resíduo de
em
é simplesmente 1.
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral de
ao redor de
é igual a
vezes o resíduo no ponto singular dentro de
:
Resposta
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Calcule a integral
onde
é o segmento de reta de
à
.
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