Use o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que ointC 1z d z=2 pi i, onde C é um contorno fechado envolvendo a origem uma vez no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que faz parte do estudo de Cálculo Complexo. O problema pede para a gente provar que a integral de ao longo de um contorno fechado que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário é igual a . Para isso, vamos precisar entender sobre integrais de contorno e singularidades de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de contorno. É basicamente uma integral feita ao longo de um caminho fechado no plano complexo. No nosso caso, o caminho envolve a origem (onde ) uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, o Teorema de Cauchy-Goursat diz que se uma função ointC f(z) , dz = 0 for analítica (ou seja, diferenciável em todos os pontos) em uma região fechada e sobre o contorno , então a integral de ao longo de é zero:
Mas a função não é analítica em porque ela tem uma singularidade ali (o denominador z = 0).

Passo 4

Quando temos uma singularidade dentro do contorno , o Teorema de Cauchy-Goursat não se aplica diretamente. Nesse caso, usamos o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular a integral. O resíduo de em é simplesmente 1.

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral de ointC 1z , dz = 2pi i times Res(1z, 0) = 2pi i times 1 = 2pi i ao redor de é igual a vezes o resíduo no ponto singular dentro de :

Resposta

ointC 1z , dz = 2pi i

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