Calcule a integral de linha, em que
é a curva espacial fornecida.
,
C é o segmento de reta que vai de
a
C é o segmento de reta que vai de
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde
é o segmento de reta que vai de
a
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de linha, parametrização de curvas no espaço e cálculo de elementos diferenciais como
.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como
é uma reta que vai de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Isso significa que, quando
, estamos no ponto
, e quando
, chegamos em
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, vamos encontrar as derivadas das coordenadas em relação a
:
O
é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original usando nossa parametrização:
Então,
fica:
Expandindo isso:
Passo 5
Agora, montamos a integral com tudo que calculamos:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A integral de linha é
.