Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
integralC y^2 z d s,
C é o segmento de reta que vai de (3,1,2) a (1,2,5)

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC y^2 z , ds, onde C é o segmento de reta que vai de (3,1,2) a (1,2,5). Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de linha, parametrização de curvas no espaço e cálculo de elementos diferenciais como ds.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva C. Como C é uma reta que vai de (3,1,2) a (1,2,5), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
x(t) = 3 - 2t
y(t) = 1 + t
z(t) = 2 + 3t
Isso significa que, quando t=0, estamos no ponto (3,1,2), e quando t=1, chegamos em (1,2,5).

Passo 3

Agora, precisamos calcular ds, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, vamos encontrar as derivadas das coordenadas em relação a t:
dxdt = -2
dydt = 1
dzdt = 3
O ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt = raiz(-2)^2 + 1^2 + 3^2 , dt = raiz4 + 1 + 9 , dt = raiz14 , dt

Passo 4

Agora, substituímos y e z na integral original usando nossa parametrização:
y(t) = 1 + t
z(t) = 2 + 3t
Então, y^2 z fica:
y^2 z = (1 + t)^2 (2 + 3t)
Expandindo isso:
(1 + t)^2 (2 + 3t) = (1 + 2t + t^2)(2 + 3t) = 2 + 7t + 7t^2 + 3t^3

Passo 5

Agora, montamos a integral com tudo que calculamos:
integralC y^2 z , ds = integral0^1 (2 + 7t + 7t^2 + 3t^3) raiz14 , dt
Podemos fatorar raiz14:
raiz14 integral0^1 (2 + 7t + 7t^2 + 3t^3) , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^1 (2 + 7t + 7t^2 + 3t^3) , dt = [2t + 72t^2 + 73t^3 + 34t^4]0^1 = 2 + 72 + 73 + 34
Calculando cada termo:
2 = 2412, 72 = 4212, 73 = 2812, 34 = 912
Somando tudo:
24 + 42 + 28 + 912 = 10312

Resposta

A integral de linha é 103 raiz1412.

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