Calcule a integral de linha, em que é a curva espacial fornecida.
,
C é o segmento de reta que vai de a
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de a . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de linha, parametrização de curvas no espaço e cálculo de elementos diferenciais como .
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Isso significa que, quando , estamos no ponto , e quando , chegamos em .
Passo 3
Agora, precisamos calcular , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, vamos encontrar as derivadas das coordenadas em relação a :
O é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos e na integral original usando nossa parametrização:
Então, fica:
Expandindo isso:
Passo 5
Agora, montamos a integral com tudo que calculamos:
Podemos fatorar :
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A integral de linha é .
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