Calcule a integral de linha, em que é a curva espacial fornecida. , C é o segmento de reta que vai de a

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de a . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de linha, parametrização de curvas no espaço e cálculo de elementos diferenciais como .

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim: Isso significa que, quando , estamos no ponto , e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos calcular , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, vamos encontrar as derivadas das coordenadas em relação a : O é dado por:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original usando nossa parametrização: Então, fica: Expandindo isso:

Passo 5

Agora, montamos a integral com tudo que calculamos: Podemos fatorar :

Passo 6

Vamos calcular a integral: Calculando cada termo: Somando tudo:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha, em que é a curva espacial fornecida. ,
Calcule a integral de linha, em que é a curva espacial fornecida. ,
Calcule a integral onde é o segmento de reta de à .