Estude a convergência de cada integral imprópria.
integral-infty^-1 d xx.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para estudarmos a convergência da integral imprópria . Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como verificar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é , o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Para avaliar a convergência, substituímos o limite inferior infinito por um limite finito integral-infty^-1 dxx = lima to -infty integrala^-1 dxx e depois analisamos o comportamento quando tende a . Então, reescrevemos a integral como:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integrala^-1 dxx = ln|x||a^-1 = ln|-1| - ln|a| . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Sabemos que 0 - ln|a| = -ln|a| . Portanto, a expressão fica:
lima to -infty -ln|a|
Agora, aplicamos o limite quando tende a :

Passo 6

À medida que tende a , tende a , e também tende a . Portanto, tende a .

Passo 7

Como o limite resultou em , concluímos que a integral divergente, ou seja, ela não converge para um valor finito.

Resposta

A integral diverge.

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