Estude a convergência de cada integral imprópria.
.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para estudarmos a convergência da integral imprópria . Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como verificar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é , o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Para avaliar a convergência, substituímos o limite inferior infinito por um limite finito e depois analisamos o comportamento quando tende a . Então, reescrevemos a integral como:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Sabemos que . Portanto, a expressão fica:
Agora, aplicamos o limite quando tende a :

Passo 6

À medida que tende a , tende a , e também tende a . Portanto, tende a .

Passo 7

Como o limite resultou em , concluímos que a integral divergente, ou seja, ela não converge para um valor finito.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados

Estude a convergência de cada integral imprópria.
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Calcule a integral
em que é a parte da parábola de até . Resp.: .
Estude a convergência de cada integral imprópria.
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Estude a convergência de cada integral imprópria.
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