Estude a convergência de cada integral imprópria. .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para estudarmos a convergência da integral imprópria . Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como verificar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é , o que torna a integral imprópria.
Passo 3
Para avaliar a convergência, substituímos o limite inferior infinito por um limite finito e depois analisamos o comportamento quando tende a . Então, reescrevemos a integral como:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral . A antiderivada de é , então:
Passo 5
Sabemos que . Portanto, a expressão fica:
Agora, aplicamos o limite quando tende a :
Passo 6
À medida que tende a , tende a , e também tende a . Portanto, tende a .
Passo 7
Como o limite resultou em , concluímos que a integral divergente, ou seja, ela não converge para um valor finito.