Calcule a integral , usando (a) um percurso alternativo de integração e (b) a antiderivada. Considere que o contorno tem como ponto inicial e ponto terminal . A curva se comporta como uma circunferência centrada na origem, de raio unitário, até , tornando-se um segmento de reta ligando e o ponto terminal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral complexa: . A gente precisa calcular essa integral ao longo de um contorno que começa em e termina em . Esse contorno é formado por duas partes: primeiro, uma circunferência de raio 1 centrada na origem, que vai de até , e depois um segmento de reta que vai de até . Para resolver isso, vamos usar dois métodos: (a) escolher um percurso alternativo mais fácil para a integração e (b) usar a antiderivada da função integranda.

Passo 2

Parte (a): Percurso Alternativo de Integração
Quando trabalhamos com integrais complexas, se a função que estamos integrando for analítica (ou seja, tem derivada em todos os pontos do caminho), então a integral não depende do percurso escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final. A função é uma função polinomial, que é analítica em todo lugar no plano complexo. Então, podemos escolher um caminho mais simples para calcular a integral.
Vamos optar por um caminho direto: uma linha reta que vai de até . Esse caminho é mais f��cil de trabalhar do que o caminho original que passa pela circunferência e depois pela reta.

Passo 3

Para calcular a integral ao longo dessa linha reta, precisamos parametrizar o caminho. Podemos fazer isso da seguinte maneira:
, onde varia de 0 a 1.
Aqui, quando , , e quando , . O diferencial é a derivada de em relação a :
.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral usando essa parametrização:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Sabemos que , então:
Agora, a integral simplifica para:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Passo 7

Parte (b): Usando a Antiderivada
Outra maneira de calcular a integral é encontrar uma antiderivada da função . A antiderivada é uma função tal que .
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração, que não importa aqui porque vamos calcular a diferença entre dois pontos.
Agora, a integral ao longo de é dada por:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(a)
Calcule a integral , onde é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos e e uma após o ponto . Ao lado direito do ponto , a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.
Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma .
(b)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) (i) , (ii)