Calcule a integral integralC(4 z-1) d z, usando (a) um percurso alternativo de integração e (b) a antiderivada. Considere que o contorno C tem como ponto inicial z=-i e ponto terminal z=i. A curva se comporta como uma circunferência centrada na origem, de raio unitário, até z=1, tornando-se um segmento de reta ligando z=1 e o ponto terminal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral complexa: . A gente precisa calcular essa integral ao longo de um contorno que começa em e termina em . Esse contorno é formado por duas partes: primeiro, uma circunferência de raio 1 centrada na origem, que vai de até , e depois um segmento de reta que vai de até . Para resolver isso, vamos usar dois métodos: (a) escolher um percurso alternativo mais fácil para a integração e (b) usar a antiderivada da função integranda.

Passo 2

Parte (a): Percurso Alternativo de Integração
Quando trabalhamos com integrais complexas, se a função que estamos integrando for analítica (ou seja, tem derivada em todos os pontos do caminho), então a integral não depende do percurso escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final. A função é uma função polinomial, que é analítica em todo lugar no plano complexo. Então, podemos escolher um caminho mais simples para calcular a integral.
Vamos optar por um caminho direto: uma linha reta que vai de até . Esse caminho é mais f��cil de trabalhar do que o caminho original que passa pela circunferência e depois pela reta.

Passo 3

Para calcular a integral ao longo dessa linha reta, precisamos parametrizar o caminho. Podemos fazer isso da seguinte maneira:
, onde varia de 0 a 1.
Aqui, quando , , e quando , . O diferencial é a derivada de em relação a :
.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral usando essa parametrização:
integralC (4z - 1) , dz = integral0^1 (4(-i + 2it) - 1) cdot 2i , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
4(-i + 2it) - 1 = -4i + 8it - 1
Então, a integral fica:
integral0^1 (-4i + 8it - 1) cdot 2i , dt

Passo 5

Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
(-4i + 8it - 1) cdot 2i = (-4i)(2i) + (8it)(2i) + (-1)(2i) = -8i^2 + 16i^2 t - 2i
Sabemos que -8(-1) + 16(-1)t - 2i = 8 - 16t - 2i , então:
integral0^1 (8 - 16t - 2i) , dt
Agora, a integral simplifica para:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 8 , dt = 8t |0^1 = 8(1) - 8(0) = 8
integral0^1 (-16t) , dt = -16 cdot t^22 |0^1 = -8(1^2) + 8(0) = -8
integral0^1 (-2i) , dt = -2i cdot t |0^1 = -2i(1) + 2i(0) = -2i
Somando tudo:
8 - 8 - 2i = -2i

Passo 7

Parte (b): Usando a Antiderivada
Outra maneira de calcular a integral é encontrar uma antiderivada da função F(z) = integral (4z - 1) , dz = 2z^2 - z + C . A antiderivada F(i) - F(-i) = (2i^2 - i) - (2(-i)^2 - (-i)) é uma função tal que 2(-1) - i - [2(-1) + i] = (-2 - i) - (-2 + i) = -2 - i + 2 - i = -2i .
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração, que não importa aqui porque vamos calcular a diferença entre dois pontos.
Agora, a integral ao longo de é dada por:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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