Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma
.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse método é uma técnica da cálculo integral que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar partes da integral que correspondem a
e
na fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites da integral, de
a
:
Isso significa que vamos calcular
para
e
, e depois subtrair os resultados.
Passo 6
Vamos calcular para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os dois resultados:
Passo 8
Podemos simplificar usando a propriedade de exponenciais complexas
:
Passo 9
Vamos distribuir os termos:
Lembrando que
:
Passo 10
Agrupando as partes reais e imaginárias:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
e
, formando a resposta na forma
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, usando (a) um percurso alternativo de integração e (b) a antiderivada. Considere que o contorno
tem como ponto inicial
e ponto terminal
. A curva se comporta como uma circunferência centrada na origem, de raio unitário, até
, tornando-se um segmento de reta ligando
e o ponto terminal.
Mostre que
para cada uma das funções a seguir, considerando que
é a circunferência unitária
.
(a)
(a)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) (i)
, (ii)
(d)
Mostre que
para cada uma das funções a seguir, considerando que
é a circunferência unitária
.
(b)
(b)