Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma .
(b)

Passo 1

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é uma técnica da cálculo integral que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites da integral, de a :
Isso significa que vamos calcular para e , e depois subtrair os resultados.

Passo 6

Vamos calcular para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os dois resultados:

Passo 8

Podemos simplificar usando a propriedade de exponenciais complexas :

Passo 9

Vamos distribuir os termos:
Lembrando que :

Passo 10

Agrupando as partes reais e imaginárias:
  • Parte real:
  • Parte imaginária:

Resposta

A integral é igual a:
Onde e , formando a resposta na forma .

Exercícios relacionados

Calcule a integral , usando (a) um percurso alternativo de integração e (b) a antiderivada. Considere que o contorno tem como ponto inicial e ponto terminal . A curva se comporta como uma circunferência centrada na origem, de raio unitário, até , tornando-se um segmento de reta ligando e o ponto terminal.
Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(a)
Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) (i) , (ii)
Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(b)