Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma a+i b.
(b) integrali^1+i z e^z d z

Passo 1

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é uma técnica da cálculo integral que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = dz e v = integral e^z , dz = e^z :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral z e^z , dz = z cdot e^z - integral e^z , dz = z e^z - e^z + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites da integral, de integrali^1+i z e^z , dz = [ z e^z - e^z ]i^1+i a :
Isso significa que vamos calcular para e , e depois subtrair os resultados.

Passo 6

Vamos calcular para (1+i) e^1+i - e^1+i = i e^1+i :
i e^i - e^i = (i - 1) e^i
Para :

Passo 7

Subtraindo os dois resultados:
i e^1+i - (i - 1) e^i = i e^1+i - i e^i + e^i

Passo 8

Podemos simplificar usando a propriedade de exponenciais complexas i e^1 e^i - i e^i + e^i = i e (cos 1 + i sin 1) - i (cos 1 + i sin 1) + (cos 1 + i sin 1) :

Passo 9

Vamos distribuir os termos:
i e cos 1 + i^2 e sin 1 - i cos 1 - i^2 sin 1 + cos 1 + i sin 1
Lembrando que i e cos 1 - e sin 1 - i cos 1 + sin 1 + cos 1 + i sin 1 :

Passo 10

Agrupando as partes reais e imaginárias:
  • Parte real:
- e sin 1 + sin 1 + cos 1 = cos 1 + sin 1 (1 - e)
  • Parte imaginária:
i e cos 1 - i cos 1 + i sin 1 = i [(e - 1) cos 1 + sin 1]

Resposta

A integral (cos 1 + sin 1 (1 - e)) + i ( (e - 1) cos 1 + sin 1 ) é igual a:
Onde e , formando a resposta na forma .

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