Mostre que ointC f(z) d z=0 para cada uma das funções a seguir, considerando que C é a circunferência unitária |z|=1.
(a) f(z)=z2 z+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de contorno é igual a zero para a função , onde é a circunferência unitária . Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema de Cauchy sobre integrais de contornos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função 2z + 3 = 0 implies z = -32 não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Isso acontece quando o denominador é zero:
Então, a função tem um pólo simples em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse pólo está dentro do contorno |z| = | -32 | = 32 , que é a circunferência de raio 1. Calculamos a magnitude do ponto:
Como , o pólo está fora do contorno .

Passo 4

De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em toda a região dentro e sobre o contorno , então a integral de contorno dela é zero. Como não temos singularidades dentro de , a integral é zero.

Resposta

ointC z2z + 3 dz = 0

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