Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de contorno é igual a zero para a função , onde é a circunferência unitária . Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema de Cauchy sobre integrais de contornos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Isso acontece quando o denominador é zero:
Então, a função tem um pólo simples em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse pólo está dentro do contorno , que é a circunferência de raio 1. Calculamos a magnitude do ponto:
Como , o pólo está fora do contorno .

Passo 4

De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em toda a região dentro e sobre o contorno , então a integral de contorno dela é zero. Como não temos singularidades dentro de , a integral é zero.

Resposta

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Calcule a integral , onde é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos e e uma após o ponto . Ao lado direito do ponto , a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
©
Calcule a integral , usando (a) um percurso alternativo de integração e (b) a antiderivada. Considere que o contorno tem como ponto inicial e ponto terminal . A curva se comporta como uma circunferência centrada na origem, de raio unitário, até , tornando-se um segmento de reta ligando e o ponto terminal.
Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma .
(b)