Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de contorno é igual a zero para a função , onde é a circunferência unitária . Vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema de Cauchy sobre integrais de contornos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Isso acontece quando o denominador é zero:
Então, a função tem um pólo simples em .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse pólo está dentro do contorno , que é a circunferência de raio 1. Calculamos a magnitude do ponto:
Como , o pólo está fora do contorno .
Passo 4
De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em toda a região dentro e sobre o contorno , então a integral de contorno dela é zero. Como não temos singularidades dentro de , a integral é zero.