Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d)
(i)
, (ii)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede pra calcular uma integral de contorno da função
sobre dois círculos diferentes: um de raio 1 centrado na origem (
) e outro de raio 1 centrado em
(
). Para resolver isso, vamos usar as fórmulas integrais de Cauchy, que nos ajudam a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados identificando os resíduos das singularidades dentro do contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da nossa função
. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, então temos:
-
(com multiplicidade 2, ou seja, uma singularidade dupla). -
(singularidade simples).
Esses são os pontos onde a função não é analítica e que vamos considerar para os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro de cada contorno:
(i) Para
:
- A singularidade em
está dentro, porque . - A singularidade em
está fora, porque .
(ii) Para
:
- A singularidade em
está dentro, já que é o centro do contorno. - A singularidade em
está fora, porque a distância de até é .
Passo 4
Vamos calcular os resíduos das singularidades que estão dentro de cada contorno.
(i) Para
, singularidade em
:
Como
é uma singularidade dupla, o resíduo é dado por:
Derivando:
Avaliando em
:
Simplificando:
Portanto:
(ii) Para
, singularidade em
:
Essa é uma singularidade simples, então o resíduo é:
Calculando
:
Então:
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos, sabemos que a integral ao redor de um contorno fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno.
(i) Para
:
(ii) Para
:
Resposta
(i)
(ii)
Exercícios relacionados
Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma
.
(b)
(b)
Calcule a integral
, usando (a) um percurso alternativo de integração e (b) a antiderivada. Considere que o contorno
tem como ponto inicial
e ponto terminal
. A curva se comporta como uma circunferência centrada na origem, de raio unitário, até
, tornando-se um segmento de reta ligando
e o ponto terminal.
Mostre que
para cada uma das funções a seguir, considerando que
é a circunferência unitária
.
(b)
(b)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(a)
(a)