Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) ointC z+2z^2(z-1-i) d z ; (i) |z|=1, (ii) |z-1-i|=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede pra calcular uma integral de contorno da função sobre dois círculos diferentes: um de raio 1 centrado na origem ( ) e outro de raio 1 centrado em ( ). Para resolver isso, vamos usar as fórmulas integrais de Cauchy, que nos ajudam a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados identificando os resíduos das singularidades dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da nossa função . As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, então temos:
  1. (com multiplicidade 2, ou seja, uma singularidade dupla).
  2. (singularidade simples).
Esses são os pontos onde a função não é analítica e que vamos considerar para os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro de cada contorno:
(i) Para :
  • A singularidade em está dentro, porque .
  • A singularidade em está fora, porque .
(ii) Para :
  • A singularidade em está dentro, já que é o centro do contorno.
  • A singularidade em está fora, porque a distância de até é .

Passo 4

Vamos calcular os resíduos das singularidades que estão dentro de cada contorno.
(i) Para Res(z+2z^2(z-1-i), 0) = limz to 0 ddz[(z - 0)^2 cdot z+2z^2(z-1-i)] = limz to 0 ddz ( z+2z-1-i ) , singularidade em ddz ( z+2z-1-i ) = (1)(z-1-i) - (z+2)(1)(z-1-i)^2 = z -1 -i - z -2(z-1-i)^2 = -3 -i(z-1-i)^2 :
Como Res = -3 -i(-1 -i)^2 = -3 -i(1 + 2i + i^2) = -3 -i1 + 2i -1 = -3 -i2i = -32i - i2i = -32i - 12 é uma singularidade dupla, o resíduo é dado por:
-32i = 3i2
Derivando:
Res = 3i2 - 12 = -1 + 3i2
Avaliando em Res(z+2z^2(z-1-i), 1+i) = limz to 1+i (z - (1+i)) cdot z+2z^2(z-1-i) = 1+i + 2(1+i)^2 = 3+i(1+i)^2 :
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i
Simplificando:
Res = 3+i2i = 32i + i2i = 32i + 12 = -3i2 + 12
Portanto:
(ii) Para , singularidade em :
Essa é uma singularidade simples, então o resíduo é:
Calculando :
Então:

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, sabemos que a integral ao redor de um contorno fechado é igual a ointC z+2z^2(z-1-i) dz = 2pi i cdot ( -1 + 3i2 ) = pi i (-1 + 3i) = -pi i + 3pi i^2 = -pi i - 3pi = -3pi - pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno.
(i) Para ointC z+2z^2(z-1-i) dz = 2pi i cdot ( 12 - 3i2 ) = 2pi i cdot 1 - 3i2 = pi i (1 - 3i) = pi i - 3pi i^2 = pi i + 3pi = 3pi + pi i :
(ii) Para :

Resposta

(i)
(ii)

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