Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
(d) (i) , (ii)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede pra calcular uma integral de contorno da função sobre dois círculos diferentes: um de raio 1 centrado na origem ( ) e outro de raio 1 centrado em ( ). Para resolver isso, vamos usar as fórmulas integrais de Cauchy, que nos ajudam a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados identificando os resíduos das singularidades dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da nossa função . As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, então temos:
  1. (com multiplicidade 2, ou seja, uma singularidade dupla).
  2. (singularidade simples).
Esses são os pontos onde a função não é analítica e que vamos considerar para os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro de cada contorno:
(i) Para :
  • A singularidade em está dentro, porque .
  • A singularidade em está fora, porque .
(ii) Para :
  • A singularidade em está dentro, já que é o centro do contorno.
  • A singularidade em está fora, porque a distância de até é .

Passo 4

Vamos calcular os resíduos das singularidades que estão dentro de cada contorno.
(i) Para , singularidade em :
Como é uma singularidade dupla, o resíduo é dado por:
Derivando:
Avaliando em :
Simplificando:
Portanto:
(ii) Para , singularidade em :
Essa é uma singularidade simples, então o resíduo é:
Calculando :
Então:

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, sabemos que a integral ao redor de um contorno fechado é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno.
(i) Para :
(ii) Para :

Resposta

(i)
(ii)

Exercícios relacionados

Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma .
(b)
Calcule a integral , usando (a) um percurso alternativo de integração e (b) a antiderivada. Considere que o contorno tem como ponto inicial e ponto terminal . A curva se comporta como uma circunferência centrada na origem, de raio unitário, até , tornando-se um segmento de reta ligando e o ponto terminal.
Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(b)
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(a)