Calcule a integral: integrale^e^2 1t ln t dt

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo envolvendo integração por substituição. Vamos precisar entender como usar substituições para simplificar a integral e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que queremos integrar: . Notamos que temos e juntos, o que sugere que podemos usar uma substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição! Vamos deixar du = 1t , dt . Agora, precisamos encontrar em termos de .
Sabemos que a derivada de em relação a é . Então:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integrale^e^2 1t ln t , dt = integralln e^ln e^2 1u , du :
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Vamos simplificar os limites de integração. Sabemos que:
ln e = 1 e ln e^2 = 2
Então, a integral fica:
integral1^2 1u , du

Passo 6

Agora, vamos integrar integral 1u , du = ln u + C em relação a . A integral de é , então:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do constante de integração .

Passo 7

Vamos agora avaliar a integral nos limites de 1 a 2:
ln 2 - ln 1
Sabemos que ln 2 - 0 = ln 2 , então:

Resposta

A integral vale .

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