Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo envolvendo integração por substituição. Vamos precisar entender como usar substituições para simplificar a integral e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que queremos integrar: . Notamos que temos e juntos, o que sugere que podemos usar uma substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição! Vamos deixar . Agora, precisamos encontrar em termos de .
Sabemos que a derivada de em relação a é . Então:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de :
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Vamos simplificar os limites de integração. Sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é , então:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do constante de integração .

Passo 7

Vamos agora avaliar a integral nos limites de 1 a 2:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parametro cresce.
a.
b.
c.
d.
Calcule a integral:
Calcule a integral:
Determine se o conjunto dado é ou não: (i.) aberto, (ii.)conexo e (iii.)simplesmente conexo.
a.
b.
c. ou
d.