Calcule a integral
onde
é a curva parametrizada
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral
onde
é uma curva no espaço definida por para
entre
e
. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de linha em vetores, parametrização de curvas e aplicação de diferenciais. Vamos precisar parametrizar a curva, substituir na integral e calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . Isso significa que:
Também precisamos determinar as derivadas dessas funções em relação a
, pois elas vão nos ajudar a substituir
,
e
na integral:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
,
,
,
e
na integral original. A integral fica:
Substituindo pelas expressões em termos de
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Observando os três termos dentro da integral, percebemos que todos eles têm o fator comum . Podemos fatorar esse termo:
Passo 6
Vamos analisar a expressão dentro dos colchetes:
Podemos reescrever essa expressão agrupando os termos semelhantes:
Notamos que e
. Então, a expressão fica:
Passo 7
Portanto, a integral agora é:
Podemos fatorar o 2:
Passo 8
Agora, vamos notar que a expressão dentro do colchete é a derivada da função
. Vamos verificar:
Isso é exatamente o que temos dentro do colchete! Ou seja:
Passo 9
Então, nossa integral agora se torna:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 10
Agora, observamos que a forma da integral sugere o uso da integração por partes. No entanto, uma observação mais inteligente é notar que é a derivada do exponencial na integral original. Portanto, podemos usar a técnica de substituir a expressão inteira com uma função mais simples.
Isso simplifica a integral para:
No entanto, essa abordagem ainda é complicada. Em vez disso, vamos perceber que o integrando é a derivada de uma função composta, o que nos permite simplificar a integral diretamente.
Passo 11
Na realidade, há uma maneira mais simples de resolver essa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Relembrando:
Se temos uma função
tal que
então a integral ao longo da curva
de
é simplesmente:
onde
e
são os limites do parâmetro
.
Passo 12
Vamos encontrar uma função
cuja diferencial seja igual ao integrando dado. Observando o integrando:
Perceba que todos os termos têm o fator
multiplicado por uma combinação linear de
,
e
. Isso sugere que
, porque:
que é exatamente o nosso integrando.
Passo 13
Agora que sabemos que
, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha:
Aqui,
e
.
Passo 14
Vamos calcular
e
.
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 15
Finalmente, a integral é:
Resposta
A integral vale
.