Calcule a integral
integralgamma y z e^x y z d x+x z e^x y z d y+x y e^x y z d z
onde gamma é a curva parametrizada gamma(t)=(cos t, 2 sen t, t^2), t in[0, pi4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral
integralgamma y z e^x y z , dx + x z e^x y z , dy + x y e^x y z , dz
onde gamma é uma curva no espaço definida por para gamma(t) = (cos t, 2 sen t, t^2) entre t e 0. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de linha em vetores, parametrização de curvas e aplicação de diferenciais. Vamos precisar parametrizar a curva, substituir na integral e calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . Isso significa que:
  • gamma(t) = (cos t, 2 sen t, t^2)
  • x(t) = cos t
Também precisamos determinar as derivadas dessas funções em relação a y(t) = 2 sen t, pois elas vão nos ajudar a substituir z(t) = t^2, t e dx na integral:
  • dy
  • dz

Passo 3

Agora, vamos substituir x, y, z, dx, dy e dz na integral original. A integral fica:
integralt=0^pi4 [ y z e^x y z cdot dxdt + x z e^x y z cdot dydt + x y e^x y z cdot dzdt ] dt
Substituindo pelas expressões em termos de t, temos:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
(2 sen t)(t^2) cdot (-sen t) = -2 t^2 sen^2 t
  1. Terceiro termo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Observando os três termos dentro da integral, percebemos que todos eles têm o fator comum . Podemos fatorar esse termo:

Passo 6

Vamos analisar a expressão dentro dos colchetes:
Podemos reescrever essa expressão agrupando os termos semelhantes:
Notamos que e -2 t^2 sen^2 t + 2 t^2 cos^2 t + 4 t cos t sen t . Então, a expressão fica:
2 t^2 (cos^2 t - sen^2 t) + 4 t cos t sen t

Passo 7

Portanto, a integral agora é:
Podemos fatorar o 2:

Passo 8

Agora, vamos notar que a expressão dentro do colchete é a derivada da função t^2 sin(2t). Vamos verificar:
ddt (t^2 sin(2t)) = 2 t sin(2t) + t^2 cdot 2 cos(2t) = 2 t sin(2t) + 2 t^2 cos(2t)
Isso é exatamente o que temos dentro do colchete! Ou seja:
ddt (t^2 sin(2t)) = 2 t^2 cos(2t) + 2 t sin(2t)

Passo 9

Então, nossa integral agora se torna:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 10

Agora, observamos que a forma da integral sugere o uso da integração por partes. No entanto, uma observação mais inteligente é notar que é a derivada do exponencial na integral original. Portanto, podemos usar a técnica de substituir a expressão inteira com uma função mais simples.
Isso simplifica a integral para:
No entanto, essa abordagem ainda é complicada. Em vez disso, vamos perceber que o integrando é a derivada de uma função composta, o que nos permite simplificar a integral diretamente.

Passo 11

Na realidade, há uma maneira mais simples de resolver essa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Relembrando:
Se temos uma função F(x, y, z) tal que
dF = y z e^x y z dx + x z e^x y z dy + x y e^x y z dz
então a integral ao longo da curva gamma de dF é simplesmente:
F(gamma(b)) - F(gamma(a))
onde a e b são os limites do parâmetro t.

Passo 12

Vamos encontrar uma função F(x, y, z) cuja diferencial seja igual ao integrando dado. Observando o integrando:
dF = y z e^x y z dx + x z e^x y z dy + x y e^x y z dz
Perceba que todos os termos têm o fator e^x y z multiplicado por uma combinação linear de dx, dy e dz. Isso sugere que F(x, y, z) = e^x y z, porque:
d(e^x y z) = e^x y z (y z dx + x z dy + x y dz)
que é exatamente o nosso integrando.

Passo 13

Agora que sabemos que F(x, y, z) = e^x y z, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha:
integralgamma dF = F(gamma(b)) - F(gamma(a))
Aqui, a = 0 e b = pi4.

Passo 14

Vamos calcular F(gamma(a)) e F(gamma(b)).
Para t = 0:
  • x(0) = cos 0 = 1
  • y(0) = 2 sen 0 = 0
Então:
z(0) = 0^2 = 0
Para F(gamma(0)) = e^1 cdot 0 cdot 0 = e^0 = 1 :
  • t = pi4
  • x(pi4) = cos (pi4) = raiz22
Então:
y(pi4) = 2 sen (pi4) = 2 cdot raiz22 = raiz2

Passo 15

Finalmente, a integral é:
integralgamma y z e^x y z dx + x z e^x y z dy + x y e^x y z dz = F(gamma(pi4)) - F(gamma(0)) = e^pi^216 - 1

Resposta

A integral vale e^pi^216 - 1.

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