Considere as bases
, e a base canônica
de
.
(a)
, determine suas coordenadas em relação às outras bases.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três bases no espaço
:
- A base canônica
, que é a base padrão . - A base
. - A base
.
A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor
que, na base canônica, é
, nas bases
e
. Para isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança de base. Se a gente tem um vetor
com coordenadas
na base canônica
, e queremos encontrar as coordenadas dele em outra base, por exemplo,
, a gente precisa resolver um sistema de equações que relaciona as bases.
No caso, para a base
, queremos achar os números
e
tais que:
Substituindo
, temos:
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
, que serão as coordenadas de
na base
.
Primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
de volta para achar
:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a base
. Queremos achar
e
tais que:
Substituindo
, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação:
Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituindo
na primeira equação original:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
As coordenadas do vetor
na base
são
e na base
são
.