Considere as bases B=(1,2),(2,1), D=(2,3),(4,5), e a base canônica C de R^2.
(a) Se[v]C=(1,1)C, determine suas coordenadas em relação às outras bases.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três bases no espaço :
  • A base canônica , que é a base padrão .
  • A base .
  • A base .
A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor que, na base canônica, é , nas bases e . Para isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança de base. Se a gente tem um vetor v = a(1,2) + b(2,1) com coordenadas (1,1) = a(1,2) + b(2,1) na base canônica 1 = a + 2b 1 = 2a + b , e queremos encontrar as coordenadas dele em outra base, por exemplo, , a gente precisa resolver um sistema de equações que relaciona as bases.
No caso, para a base , queremos achar os números e tais que:
Substituindo , temos:
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar 1 = a + 2b Rightarrow a = 1 - 2b e 1 = 2(1 - 2b) + b 1 = 2 - 4b + b 1 = 2 - 3b -1 = -3b b = 13 , que serão as coordenadas de a = 1 - 2(13) = 1 - 23 = 13 na base .
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo de volta para achar :
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a base v = c(2,3) + d(4,5) . Queremos achar (1,1) = c(2,3) + d(4,5) e 1 = 2c + 4d 1 = 3c + 5d tais que:
Substituindo , temos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar 1 = 2c + 4d Rightarrow 2c + 4d = 1 e 1 = 3c + 5d Rightarrow 3c + 5d = 1 .
Primeira equação:
6c + 12d = 3 6c + 10d = 2
Segunda equação:
(6c + 12d) - (6c + 10d) = 3 - 2 2d = 1 d = 12
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação:
Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de 2c + 4(12) = 1 2c + 2 = 1 2c = -1 c = -12 :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituindo na primeira equação original:
Então, as coordenadas de na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor na base são e na base são .

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