Determine se os seguintes campos vetoriais são conservativos, em caso afirmativo determine a função potencial.
a) F(x, y, z)=(x, y, z).
b) F(x, y)=(y, x).
c) F(x, y, z)=(x-y) i+(x+y+z) j+z^2 k.
d) F(x, y, z)=x(x^2+y^2+z^2)^2 i+y(x^2+y^2+z^2)^2 j+z(x^2+y^2+z^2)^2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certos campos vetoriais são conservativos. Se forem, também vamos achar a função potencial deles. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como condição de conservatividade e integração de campos vetoriais. Vamos precisar conhecer derivadas parciais e como integrar funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar com a alínea a): F(x, y, z) = (x, y, z).
Primeiro, lembrando que um campo vetorial é conservativo se ele for igual ao gradiente de alguma função potencial f(x, y, z). Ou seja, F = nabla f. Isso implica que as derivadas parciais de f em relação a x, y e z devem ser iguais aos componentes de F.
Então, temos:
partial fpartial x = x, partial fpartial y = y, partial fpartial z = z

Passo 3

Vamos integrar cada uma dessas derivadas parciais para encontrar f.
Integrando partial fpartial x = x em relação a x:
f(x, y, z) = 12x^2 + g(y, z)
Onde g(y, z) é uma função que depende de y e z.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação partial fpartial y = y:
Derivando f(x, y, z) = 12x^2 + g(y, z) em relação a y:
partial fpartial y = partial gpartial y = y
Integrando em relação a y:
g(y, z) = 12y^2 + h(z)
Onde h(z) é uma função que depende apenas de z.

Passo 5

Finalmente, usamos a terceira equação partial fpartial z = z:
Derivando f(x, y, z) = 12x^2 + 12y^2 + h(z) em relação a z:
partial fpartial z = dhdz = z
Integrando em relação a z:
h(z) = 12z^2 + C
Onde C é uma constante.

Passo 6

Agora, vamos para a alínea b): F(x, y) = (y, x).
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Em duas dimensões, um campo F = (P, Q) é conservativo se:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Aqui, P = y e Q = x.

Passo 7

Calculando as derivadas:
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo é conservativo.

Passo 8

Agora, vamos achar a função potencial f(x, y) tal que:
partial fpartial x = y, partial fpartial y = x
Primeiro, integraremos partial fpartial x = y em relação a x:
f(x, y) = yx + g(y)
Onde g(y) é uma função que depende de y.

Passo 9

Agora, usamos a segunda equação partial fpartial y = x:
Derivando f(x, y) = yx + g(y) em relação a y:
partial fpartial y = x + dgdy = x
Isso implica que dgdy = 0, então g(y) é constante.

Passo 10

Passando para a alínea c): F(x, y, z) = (x - y)i + (x + y + z)j + z^2k.
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Em três dimensões, um campo vetorial é conservativo se todas as suas derivadas cruzadas forem iguais, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x, partial Ppartial z = partial Rpartial x, partial Qpartial z = partial Rpartial y
Onde F = (P, Q, R).

Passo 11

Calculando as derivadas:
P = x - y, Q = x + y + z, R = z^2
partial Ppartial y = -1, partial Qpartial x = 1
Já temos partial Ppartial y neq partial Qpartial x, então o campo não é conservativo.

Passo 12

Finalmente, vamos para a alínea d): F(x, y, z) = x(x^2 + y^2 + z^2)^2 i + y(x^2 + y^2 + z^2)^2 j + z(x^2 + y^2 + z^2)^2 k.
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo usando as condições das derivadas cruzadas.

Passo 13

Vamos denotar P = x(x^2 + y^2 + z^2)^2, Q = y(x^2 + y^2 + z^2)^2, R = z(x^2 + y^2 + z^2)^2.
Calculando partial Ppartial y e partial Qpartial x:
partial Ppartial y = partialpartial y ( x(r^2)^2 ) = x cdot (-4y)(r^2)^3 = -4xy(x^2 + y^2 + z^2)^3
partial Qpartial x = partialpartial x ( y(r^2)^2 ) = y cdot (-4x)(r^2)^3 = -4xy(x^2 + y^2 + z^2)^3
Então, partial Ppartial y = partial Qpartial x.
Vamos verificar as outras condições.

Passo 14

Calculando partial Ppartial z e partial Rpartial x:
partial Ppartial z = partialpartial z ( x(r^2)^2 ) = x cdot (-4z)(r^2)^3 = -4xz(x^2 + y^2 + z^2)^3
partial Rpartial x = partialpartial x ( z(r^2)^2 ) = z cdot (-4x)(r^2)^3 = -4xz(x^2 + y^2 + z^2)^3
Assim, partial Ppartial z = partial Rpartial x.

Passo 15

Por fim, calculando partial Qpartial z e partial Rpartial y:
partial Qpartial z = partialpartial z ( y(r^2)^2 ) = y cdot (-4z)(r^2)^3 = -4yz(x^2 + y^2 + z^2)^3
partial Rpartial y = partialpartial y ( z(r^2)^2 ) = z cdot (-4y)(r^2)^3 = -4yz(x^2 + y^2 + z^2)^3
Logo, partial Qpartial z = partial Rpartial y.

Passo 16

Como todas as condições das derivadas cruzadas são satisfeitas, o campo é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial f(x, y, z) tal que:
partial fpartial x = x(x^2 + y^2 + z^2)^2, partial fpartial y = y(x^2 + y^2 + z^2)^2, partial fpartial z = z(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 17

Observando as derivadas, percebemos que:
x(x^2 + y^2 + z^2)^2 = partialpartial x ( -12(x^2 + y^2 + z^2) )
Similarmente para y e z. Então, a função potencial é:
f(x, y, z) = -12(x^2 + y^2 + z^2) + C

Resposta

O campo vetorial F(x, y, z) = x(x^2+y^2+z^2)^2 i + y(x^2+y^2+z^2)^2 j + z(x^2+y^2+z^2)^2 k é conservativo, e uma função potencial é:
f(x, y, z) = -12(x^2 + y^2 + z^2) + C

Fim

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