Determine se os seguintes campos vetoriais são conservativos, em caso afirmativo determine a função potencial.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se certos campos vetoriais são conservativos. Se forem, também vamos achar a função potencial deles. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como condição de conservatividade e integração de campos vetoriais. Vamos precisar conhecer derivadas parciais e como integrar funções de várias variáveis.
Passo 2
Vamos começar com a alínea a):
.
Primeiro, lembrando que um campo vetorial é conservativo se ele for igual ao gradiente de alguma função potencial
. Ou seja,
. Isso implica que as derivadas parciais de
em relação a
,
e
devem ser iguais aos componentes de
.
Então, temos:
Passo 3
Vamos integrar cada uma dessas derivadas parciais para encontrar
.
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação
:
Derivando
em relação a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Finalmente, usamos a terceira equação
:
Derivando
em relação a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 6
Agora, vamos para a alínea b):
.
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Em duas dimensões, um campo
é conservativo se:
Aqui,
e
.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 8
Agora, vamos achar a função potencial
tal que:
Primeiro, integraremos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende de
.
Passo 9
Agora, usamos a segunda equação
:
Derivando
em relação a
:
Isso implica que
, então
é constante.
Passo 10
Passando para a alínea c):
.
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Em três dimensões, um campo vetorial é conservativo se todas as suas derivadas cruzadas forem iguais, ou seja:
Onde
.
Passo 11
Calculando as derivadas:
Já temos
, então o campo não é conservativo.
Passo 12
Finalmente, vamos para a alínea d):
.
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo usando as condições das derivadas cruzadas.
Passo 13
Vamos denotar
,
,
.
Calculando
e
:
Então,
.
Vamos verificar as outras condições.
Passo 14
Calculando
e
:
Assim,
.
Passo 15
Por fim, calculando
e
:
Logo,
.
Passo 16
Como todas as condições das derivadas cruzadas são satisfeitas, o campo é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Passo 17
Observando as derivadas, percebemos que:
Similarmente para
e
. Então, a função potencial é:
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial é: