Seja
a curva parametrizada
Mostre que o angulo entre
e
é constante, isto é, independe de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva parametrizada
no espaço tridimensional e pede para a gente mostrar que o ângulo entre o vetor posição
e a sua derivada
é sempre o mesmo, ou seja, não depende de
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores, derivadas de vetores e como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da curva
. A derivada
nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto
.
Derivando cada componente em relação a
:
Simplificando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 4
O fato de que o produto escalar
ser zero significa que os vetores
e
são perpendiculares entre si para qualquer valor de
. Lembrando que o produto escalar zero indica um ângulo de 90 graus entre os vetores.
Resposta
O ângulo entre
e
é sempre
, ou seja, é constante e independe de
.