Seja alpha:] 0,2[ R^3 a curva parametrizada
alpha(t)=(2 t1+t^2, 1-t^21+t^2, 1)
Mostre que o angulo entre alpha(t) e alpha^prime(t) é constante, isto é, independe de t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva parametrizada no espaço tridimensional e pede para a gente mostrar que o ângulo entre o vetor posição e a sua derivada é sempre o mesmo, ou seja, não depende de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores, derivadas de vetores e como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da curva alpha(t) = (2t1 + t^2, 1 - t^21 + t^2, 1) . A derivada alpha'(t) = (2(1 + t^2) - 2t(2t)(1 + t^2)^2, -2t(1 + t^2) - (1 - t^2)(2t)(1 + t^2)^2, 0) nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto alpha'(t) = (2(1 + t^2) - 4t^2(1 + t^2)^2, -2t - 2t^3 - 2t + 2t^3(1 + t^2)^2, 0) = (2 - 2t^2(1 + t^2)^2, -4t(1 + t^2)^2, 0) .
Derivando cada componente em relação a :
Simplificando as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e alpha(t) cdot alpha'(t) = (2t1 + t^2)(2 - 2t^2(1 + t^2)^2) + (1 - t^21 + t^2)(-4t(1 + t^2)^2) + (1)(0) . O produto escalar de dois vetores = 4t - 4t^3(1 + t^2)^3 + -4t + 4t^3(1 + t^2)^3 + 0 = 0 e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 4

O fato de que o produto escalar ser zero significa que os vetores e são perpendiculares entre si para qualquer valor de . Lembrando que o produto escalar zero indica um ângulo de 90 graus entre os vetores.

Resposta

O ângulo entre e é sempre , ou seja, é constante e independe de .

Exercícios relacionados