Considere as bases B=(1,2),(-2,1), D=(-3,4),(12,9), e a base canônica C de R^2.
(a) Mostre que estas bases são ortogonais, mas não são ortonormais.

Passo 1

Beleza, a gente tem três bases aqui: B = (1,2), (-2,1), D = (-3,4), (12,9) e a base canônica C de R^2. O objetivo é mostrar que essas bases são ortogonais, mas não são ortonormais. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma base ser ortogonal e ortonormal, e depois verificar essas propriedades para cada uma das bases dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortogonal. Uma base é ortogonal se todos os vetores que a compõem são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou escalar) entre quaisquer dois vetores distintos da base é zero. A gente vai precisar calcular o produto interno entre os vetores de cada base.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a base B = (1,2), (-2,1) é ortogonal. Calculamos o produto interno entre os dois vetores:
(1,2) cdot (-2,1) = (1)(-2) + (2)(1) = -2 + 2 = 0
Como o resultado é zero, os vetores são ortogonais. Então, a base B é ortogonal.

Passo 4

Vamos verificar a base D = (-3,4), (12,9). Calculamos o produto interno entre os dois vetores:
(-3,4) cdot (12,9) = (-3)(12) + (4)(9) = -36 + 36 = 0
Mais uma vez, o resultado é zero, então os vetores são ortogonais. Portanto, a base D também é ortogonal.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a base canônica C = (1,0), (0,1) é ortogonal. Calculamos o produto interno entre os dois vetores:
(1,0) cdot (0,1) = (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 = 0
Como o resultado é zero, a base canônica também é ortogonal.

Passo 6

Agora que sabemos que todas as bases são ortogonais, vamos verificar se elas são ortonormais. Uma base ortonormal além de ser ortogonal, tem todos os vetores com norma igual a 1. Vamos calcular a norma de cada vetor nas bases B e D.

Passo 7

Para a base B:
| (1,2) | = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 neq 1
| (-2,1) | = raiz(-2)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 neq 1
Como as normas não são iguais a 1, a base B não é ortonormal.

Passo 8

Para a base D:
| (-3,4) | = raiz(-3)^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 neq 1
| (12,9) | = raiz12^2 + 9^2 = raiz144 + 81 = raiz225 = 15 neq 1
Como as normas não são iguais a 1, a base D também não é ortonormal.

Passo 9

Para a base canônica C:
| (1,0) | = raiz1^2 + 0^2 = 1
| (0,1) | = raiz0^2 + 1^2 = 1
Aqui, as normas são iguais a 1, então a base canônica C é ortonormal.

Resposta

As bases B e D são ortogonais, mas não são ortonormais, enquanto a base canônica C é ortonormal.

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