Considere as bases
, e a base canônica
de
.
(a) Mostre que estas bases são ortogonais, mas não são ortonormais.
(a) Mostre que estas bases são ortogonais, mas não são ortonormais.
Passo 1
Beleza, a gente tem três bases aqui:
,
e a base canônica
de
. O objetivo é mostrar que essas bases são ortogonais, mas não são ortonormais. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma base ser ortogonal e ortonormal, e depois verificar essas propriedades para cada uma das bases dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortogonal. Uma base é ortogonal se todos os vetores que a compõem são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou escalar) entre quaisquer dois vetores distintos da base é zero. A gente vai precisar calcular o produto interno entre os vetores de cada base.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a base
é ortogonal. Calculamos o produto interno entre os dois vetores:
Como o resultado é zero, os vetores são ortogonais. Então, a base
é ortogonal.
Passo 4
Vamos verificar a base
. Calculamos o produto interno entre os dois vetores:
Mais uma vez, o resultado é zero, então os vetores são ortogonais. Portanto, a base
também é ortogonal.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a base canônica
é ortogonal. Calculamos o produto interno entre os dois vetores:
Como o resultado é zero, a base canônica também é ortogonal.
Passo 6
Agora que sabemos que todas as bases são ortogonais, vamos verificar se elas são ortonormais. Uma base ortonormal além de ser ortogonal, tem todos os vetores com norma igual a 1. Vamos calcular a norma de cada vetor nas bases
e
.
Passo 7
Para a base
:
Como as normas não são iguais a 1, a base
não é ortonormal.
Passo 8
Para a base
:
Como as normas não são iguais a 1, a base
também não é ortonormal.
Passo 9
Para a base canônica
:
Aqui, as normas são iguais a 1, então a base canônica
é ortonormal.
Resposta
As bases
e
são ortogonais, mas não são ortonormais, enquanto a base canônica
é ortonormal.