Calcule a integral. integralpi / 4^pi / 3 raiztg thetasen 2 theta d theta

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais e trigonometria. Vamos precisar usar a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Sabemos que raiztan thetasin 2theta = raizsin thetacos theta2 sin theta cos theta = raizsin thetaraizcos theta cdot 2 sin theta cos theta e que . Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Mas, pra facilitar ainda mais, vamos fazer uma substituição.

Passo 3

Vamos usar a substituição dt = sec^2 theta , dtheta = (1 + tan^2 theta) , dtheta = (1 + t^2) , dtheta . Derivando ambos os lados em relação a dtheta = dt1 + t^2 , temos:
Assim, podemos isolar :
Também precisamos mudar os limites de integração. Quando , . E quando , .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integralpi4^pi3 raiztan thetasin 2theta , dtheta = integral1^raiz3 raizt2 cdot 2t1 + t^2 cdot dt1 + t^2
Simplificando a expressão:
= 12 integral1^raiz3 1 + t^2t^1/2 cdot 11 + t^2 , dt = 12 integral1^raiz3 t^-1/2 , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral t^-1/2 , dt = 12 cdot 2 t^1/2 = t^1/2 :
[ t^1/2 ]1^raiz3 = raizraiz3 - raiz1 = 3^1/4 - 1
Substituindo os limites de integração:

Resposta

3^1/4 - 1

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