Use um SCA para calcular integral x^5 e^-2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A pergunta pede para calcular a integral usando um método chamado SCA. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes até simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes. Ela é baseada na regra do produto e é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa estratégia é escolher como o termo que simplifica ao ser derivado, e como o restante.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x^5 e dv = e^-2x dx
Agora, vamos calcular du = ddx(x^5) dx = 5x^4 dx e v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^5 e^-2x dx = u cdot v - integral v cdot du
= x^5 cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot 5x^4 dx
= -12 x^5 e^-2x + 52 integral x^4 e^-2x dx

Passo 5

Perceba que agora temos uma integral similar, mas com u = x^4 e dv = e^-2x dx ao invés de du = 4x^3 dx e v = -12 e^-2x . Vamos aplicar novamente a integração por partes, repetindo o processo até reduzir o expoente de integral x^4 e^-2x dx = -12 x^4 e^-2x + 2 integral x^3 e^-2x dx a zero.
Escolhemos:
Aplicando:

Passo 6

Continuamos esse processo:
Para u = x^3, dv = e^-2x dx :
du = 3x^2 dx, v = -12 e^-2x
= -12 x^3 e^-2x + 32 integral x^2 e^-2x dx
E assim por diante, até chegarmos a .

Passo 7

Após realizar todas as integrações por partes necessárias, somamos todos os termos obtidos:
integral x^5 e^-2x dx = -12 x^5 e^-2x + 52 ( -12 x^4 e^-2x + 2 ( -12 x^3 e^-2x + 32 ( dots ) ) ) + dots + C

Resposta

Após simplificar todos os termos, a integral calculada é:
integral x^5 e^-2x dx = e^-2x ( -12 x^5 - 54 x^4 - 158 x^3 - 1516 x^2 - 1532 x - 1564 ) + C

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