Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral definida de no intervalo de
até
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre técnicas de integração como substituição. Vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a integral:
Perceba que no numerador temos e no denominador temos uma expressão envolvendo
. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, precisamos encontrar o diferencial
em termos de
:
Isso significa que .
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples:
.
Passo 5
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, temos:
Assim, a antiderivada da função original é
.
Passo 7
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, vamos aplicar os limites de integração:
Passo 8
Calculando os valores:
Portanto:
Sabemos que
e
.
Passo 9
Substituindo esses valores:
Resposta
O valor da integral é
.