Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre técnicas de integração como substituição. Vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral:
Perceba que no numerador temos e no denominador temos uma expressão envolvendo . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Agora, precisamos encontrar o diferencial em termos de :
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Sabemos que a integral de em relação a é . Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original . Lembrando que , temos:
Assim, a antiderivada da função original é .

Passo 7

Como estamos calculando uma integral definida de a , vamos aplicar os limites de integração:

Passo 8

Calculando os valores:
Portanto:
Sabemos que e .

Passo 9

Substituindo esses valores:

Resposta

O valor da integral é .

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(1.1) e o eixo
(1.2) e
(1.3) e
(1.4) e
(1.5) e
(1.6) e
(1.7) e
(1.8) e
(1.9) e
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