Calcule a integral: integralpi / 2^pi sen y1+cos ^2 y d y

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida de no intervalo de sen y1+cos^2 y até pi2. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre técnicas de integração como substituição. Vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral:
Perceba que no numerador temos e no denominador temos uma expressão envolvendo integralpi/2^pi sen y1 + cos^2 y , dy . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = cos y
Agora, precisamos encontrar o diferencial du em termos de dy:
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples: integral sen y1 + cos^2 y , dy = integral -du1 + u^2 = -integral du1 + u^2 .

Passo 5

Sabemos que a integral de 11 + u^2 em relação a u é arctan u. Portanto:
- integral du1 + u^2 = -arctan u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original y. Lembrando que u = cos y, temos:
-arctan u + C = -arctan (cos y) + C
Assim, a antiderivada da função original é -arctan (cos y) + C.

Passo 7

Como estamos calculando uma integral definida de pi2 a pi, vamos aplicar os limites de integração:
[ -arctan (cos y) ]pi/2^pi = -arctan (cos pi) + arctan (cos pi2)

Passo 8

Calculando os valores:
  • cos pi = -1
  • cos pi2 = 0
Portanto:
- arctan (-1) + arctan (0)
Sabemos que arctan (-1) = -pi4 e arctan (0) = 0.

Passo 9

Substituindo esses valores:
- (-pi4) + 0 = pi4

Resposta

O valor da integral é pi4.

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