Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.1) e o eixo
(1.2) e
(1.3) e
(1.4) e
(1.5) e
(1.6) e
(1.7) e
(1.8) e
(1.9) e
(1.10) e

Passo 1

Vamos resolver a questão de encontrar a área da região do plano delimitada pelas curvas , e o eixo dos . Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo, especificamente integração, para determinar a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração. A curva intersecta o eixo quando , ou seja, quando . Isso ocorre quando .
Também temos a vertical . Portanto, os limites de integração para vão de a .

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre as curvas, podemos integrar a função em relação a de até , subtraindo a área abaixo do eixo (que é zero).
A fórmula para a área é:

Passo 4

Vamos calcular a integral . Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Calculando em :
Calculando em :
Portanto:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas , e o eixo é unidades de área.

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Calcule a integral:
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Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos seus catetos cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.1) Eixo maior
(11.2) Eixo menor.