Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos seus catetos cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que tem como base um círculo com raio . As “fatias” desse sólido, quando cortadas perpendicularmente a um diâmetro, são triângulos retângulos isósceles. Esses triângulos estão todos de um lado do plano da base e têm um dos catetos como cordas da circunferência, perpendiculares ao diâmetro. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo integral. Precisamos entender como encontrar a área dessas fatias e depois integrar essas áreas ao longo do diâmetro para obter o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma seção transversal. Imagine que você corta o sólido perpendicularmente a um diâmetro da base; o corte resultante é um triângulo retângulo isósceles. Como o triângulo é isósceles, os dois catetos são iguais e o ângulo entre eles é de 90 graus.
Passo 3
Agora, vamos determinar o comprimento dos catetos desses triângulos. Como os catetos são cordas da circunferência da base e são perpendiculares ao diâmetro, podemos usar a geometria do círculo para expressar esse comprimento em função da posição ao longo do diâmetro.
Considere que o diâmetro está no eixo e que estamos a uma distância do centro do círculo. O comprimento da corda perpendicular pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio, a distância e metade da corda:
Onde é o comprimento da corda. Resolvendo para :
Passo 4
Como os triângulos são retângulos isósceles, os dois catetos são iguais e têm comprimento . A área de cada triângulo é dada por:
Substituindo :
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, vamos integrar a área das seções transversais ao longo do diâmetro. O diâmetro tem comprimento , e vamos integrar de a no eixo :