Calcule a integral. integral sen theta+tg thetacos ^3 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição e manipulação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar. Sabemos que é igual a . Então, substituindo isso na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Podemos fatorar :
Isso fica:

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral: .
Aqui, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar du = -sen theta dtheta Rightarrow -du = sen theta dtheta . Então, a derivada de -integral duu^3 = -integral u^-3 du = 12 u^2 + C = 12 cos^2 theta + C em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Fazemos a mesma substituição -integral duu^4 = -integral u^-4 du = 13 u^3 + C = 13 cos^3 theta + C , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Resposta

Somando as duas partes que encontramos, a integral original é:
12 cos^2 theta + 13 cos^3 theta + C
Onde é a constante de integração.

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