Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição e manipulação de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar. Sabemos que é igual a . Então, substituindo isso na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o numerador. Podemos fatorar :
Isso fica:
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral: .
Aqui, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Fazemos a mesma substituição
, então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Resposta
Somando as duas partes que encontramos, a integral original é:
Onde
é a constante de integração.