Seja f : [a, b] -> R contínua, com f(a) <= a e b <= f(b). Prove que existe pelo menos um c in [a, b], tal que f(c) = c.

Passo 1

Então, a gente tem uma função contínua definida no intervalo , e sabemos que e . A ideia aqui é provar que existe pelo menos um ponto dentro desse intervalo onde . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é super útil quando estamos lidando com funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como encontrar esse ponto . Uma estratégia legal é considerar a diferença entre a função e mesmo. Então, vamos definir uma nova função . Nosso objetivo agora é mostrar que existe um tal que , porque isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com nos extremos do intervalo :
  • Quando , temos . Sabemos que , então .
  • Quando , temos . Sabemos que , então .

Passo 4

Vemos que e . Isso significa que a função muda de sinal no intervalo . Por causa do Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve passar por zero em algum lugar entre eles, podemos concluir que existe pelo menos um ponto onde .

Resposta

Portanto, existe pelo menos um tal que .

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