Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de
a
. Basicamente, isso significa que vamos encontrar a área entre o gráfico da função e o eixo
nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente envolvendo funções absolutas e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dentro do valor absoluto: . Para lidar com o valor absoluto, precisamos determinar onde essa expressão é positiva ou negativa no intervalo de
a
. Isso nos ajudará a eliminar o valor absoluto na integral.
Passo 3
Vamos resolver para encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal:
Usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever a equação:
Rearranjando os termos:
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática em termos de :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
A solução válida é . Agora, encontramos o valor de
:
Então, a função muda de sinal em
.
Passo 6
Agora, vamos dividir a integral em duas partes, de
a
e de
a
, considerando onde a expressão é positiva ou negativa:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a de
a
:
Avaliando de
a
:
Passo 8
Agora, a segunda integral, de
a
:
Avaliando de
a
:
Passo 9
Somando as duas partes:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.
Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.
Calcule
, valor:
Derive as funções: (valor:
)