Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Basicamente, isso significa que vamos encontrar a área entre o gráfico da função e o eixo nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente envolvendo funções absolutas e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dentro do valor absoluto: . Para lidar com o valor absoluto, precisamos determinar onde essa expressão é positiva ou negativa no intervalo de a . Isso nos ajudará a eliminar o valor absoluto na integral.

Passo 3

Vamos resolver para encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal:
Usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever a equação:
Rearranjando os termos:

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática em termos de :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:

Passo 5

A solução válida é . Agora, encontramos o valor de :
Então, a função muda de sinal em .

Passo 6

Agora, vamos dividir a integral em duas partes, de a e de a , considerando onde a expressão é positiva ou negativa:

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a de a :
Avaliando de a :

Passo 8

Agora, a segunda integral, de a :
Avaliando de a :

Passo 9

Somando as duas partes:

Resposta

A integral é igual a .

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Calcule , valor:
Derive as funções: (valor: )