Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região:
integral0^pi / 2|sen x-cos (2 x)| d x, (R: 32 raiz3-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Basicamente, isso significa que vamos encontrar a área entre o gráfico da função e o eixo nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente envolvendo funções absolutas e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dentro do valor absoluto: . Para lidar com o valor absoluto, precisamos determinar onde essa expressão é positiva ou negativa no intervalo de a . Isso nos ajudará a eliminar o valor absoluto na integral.

Passo 3

Vamos resolver para encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal:
Usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever a equação:
Rearranjando os termos:

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática em termos de :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde 2sen^2 x + sen x - 1 = 0 , sen x = -b pm raizb^2 - 4ac 2a , e sen x = -1 pm raiz1 + 8 4 = -1 pm 3 4 :
Então, temos duas soluções:

Passo 5

A solução válida é . Agora, encontramos o valor de x = arcsen(0.5) = pi6 :
Então, a função muda de sinal em .

Passo 6

Agora, vamos dividir a integral em duas partes, de integral0^pi2 |sen x - cos(2x)| dx = integral0^pi6 (cos(2x) - sen x) dx + integralpi6^pi2 (sen x - cos(2x)) dx a e de a , considerando onde a expressão é positiva ou negativa:

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a de integral (cos(2x) - sen x) dx = 12 sen(2x) + cos x + C a [ 12 sen(pi3) + cos(pi6) ] - [ 12 sen(0) + cos(0) ] = raiz34 + raiz32 - 0 - 1 = 3raiz34 - 1 :
Avaliando de a :

Passo 8

Agora, a segunda integral, de integral (sen x - cos(2x)) dx = -cos x - 12 sen(2x) + C a [ -cos(pi2) - 12 sen(pi) ] - [ -cos(pi6) - 12 sen(pi3) ] = 0 - ( -raiz32 - raiz34 ) = 3raiz34 :
Avaliando de a :

Passo 9

Somando as duas partes:
( 3raiz34 - 1 ) + 3raiz34 = 6raiz34 - 1 = 3raiz32 - 1

Resposta

A integral é igual a .

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