Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa desenhar a região que é delimitada pelas curvas
e
, e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre como encontrar a área entre curvas. Vamos precisar descobrir onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração e, em seguida, integrar a diferença entre as funções que formam os limites dessa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa que temos que resolver o sistema de equações:
Substituindo a primeira equação na segunda, temos:
Simplificando, ficamos com:
Então, as soluções são
e
. Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes:
Para :
Para
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual delas está acima da outra no intervalo de
até
. Para isso, vamos analisar os valores de
para cada curva nesse intervalo.
Para
, quando
varia de 0 a 1,
vai de 0 a 1.
Para
, podemos resolver para
:
No intervalo que estamos considerando (
),
está acima de
.
Passo 4
Com isso, sabemos que a curva
está acima de
entre
e
. Isso é importante porque, para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre a função de cima e a função de baixo nesse intervalo.
A fórmula para a área
entre duas curvas
e
, onde
está acima de
, de
até
é:
Passo 5
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
A integral de
é:
E a integral de
é:
Então, substituindo de volta na expressão da área:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.
Para
:
Para
:
Subtraindo esses valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é igual a
.
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Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região:
Calcule
, valor: