Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa desenhar a região que é delimitada pelas curvas e , e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre como encontrar a área entre curvas. Vamos precisar descobrir onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração e, em seguida, integrar a diferença entre as funções que formam os limites dessa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa que temos que resolver o sistema de equações:
Substituindo a primeira equação na segunda, temos:
Simplificando, ficamos com:
Então, as soluções são e . Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes:
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual delas está acima da outra no intervalo de até . Para isso, vamos analisar os valores de para cada curva nesse intervalo.
Para , quando varia de 0 a 1, vai de 0 a 1.
Para , podemos resolver para :
No intervalo que estamos considerando ( ), está acima de .

Passo 4

Com isso, sabemos que a curva está acima de entre e . Isso é importante porque, para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre a função de cima e a função de baixo nesse intervalo.
A fórmula para a área entre duas curvas e , onde está acima de , de até é:

Passo 5

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
A integral de é:
E a integral de é:
Então, substituindo de volta na expressão da área:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.
Para :
Para :
Subtraindo esses valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é igual a .

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Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região:
Calcule , valor: