Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas , , e a reta . Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de integrais para encontrar a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Assim, igualamos e :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar as frações:
Então, as curvas se cruzam quando . Vamos anotar esse ponto de interseção como .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico dessas funções para visualizar a região que queremos calcular. Sabemos que:
  • é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes.
  • é uma parábola que fica apenas no primeiro e segundo quadrantes.
  • A reta é uma linha vertical passando por .
Com isso, a região limitada por essas curvas está entre e , e entre as duas funções e .

Passo 4

Para encontrar a área dessa região, vamos calcular a integral da diferença entre as duas funções de a . A fórmula para a área é:
Aqui, estamos subtraindo de porque está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é .

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Questăo (3).
Provar que
náo é polimonial.
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Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região: