Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas
,
, e a reta
. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de integrais para encontrar a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Assim, igualamos
e
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar as frações:
Então, as curvas se cruzam quando
. Vamos anotar esse ponto de interseção como
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico dessas funções para visualizar a região que queremos calcular. Sabemos que:
-
é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes. -
é uma parábola que fica apenas no primeiro e segundo quadrantes. - A reta
é uma linha vertical passando por .
Com isso, a região limitada por essas curvas está entre
e
, e entre as duas funções
e
.
Passo 4
Para encontrar a área dessa região, vamos calcular a integral da diferença entre as duas funções de
a
. A fórmula para a área
é:
Aqui, estamos subtraindo
de
porque
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
.
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Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.
celepar
Questăo (3).
Provar que
náo é polimonial.
Questăo (3).
Provar que
Esboce a região delimitada pelas curvas e calcule a área da região.
Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região: