Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde é a regiāo limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e como inverter a ordem de integração. Isso envolve um pouco de cálculo integral e análise das curvas que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas e para entender melhor a região . A curva é uma parábola que abre para a direita, enquanto é uma parábola que abre para cima. Encontrando os pontos de interseção dessas duas curvas, temos:
Então, as duas curvas se interceptam em e .

Passo 3

Agora, para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração. Originalmente, a integral está configurada como:
Mas o exercício pede para inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar os limites de em termos de . Observando as curvas:
  • De , temos
  • De , temos
Portanto, para um dado , varia de até . Além disso, varia de 0 até 1, já que as curvas se interceptam nesses valores.

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo e :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde .
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onde é o segmento de reta ligando o ponto ao ponto .
Considere o campo vetorial
em que a e b sāo constantes. Determine valores de a e b para os quais é um campo conservativo.