Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
integral duplaR x+y d A
onde R é a regiāo limitada por y=raizx, y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e como inverter a ordem de integração. Isso envolve um pouco de cálculo integral e análise das curvas que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas raizx = x^2 implies x^4 = x implies x^4 - x = 0 implies x(x^3 - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1 e para entender melhor a região . A curva é uma parábola que abre para a direita, enquanto é uma parábola que abre para cima. Encontrando os pontos de interseção dessas duas curvas, temos:
Então, as duas curvas se interceptam em e .

Passo 3

Agora, para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração. Originalmente, a integral está configurada como:
integralx=0^x=1 integraly=x^2^y=raizx (x + y) , dy , dx
Mas o exercício pede para inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar os limites de em termos de . Observando as curvas:
  • De , temos
  • De , temos
Portanto, para um dado , varia de até . Além disso, varia de 0 até 1, já que as curvas se interceptam nesses valores.

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
integraly=0^y=1 integralx=y^2^x=raizy (x + y) , dx , dy

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a integralx=y^2^x=raizy (x + y) , dx = [ x^22 + yx ]y^2^raizy = ( (raizy)^22 + yraizy ) - ( (y^2)^22 + y cdot y^2 ) :
= ( y2 + y^3/2 ) - ( y^42 + y^3 )
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a integral0^1 ( y2 + y^3/2 - y^42 - y^3 ) dy = integral0^1 ( y2 - y^42 + y^3/2 - y^3 ) dy :
= [ y^24 - y^510 + 25 y^5/2 - y^44 ]0^1
Integrando termo a termo:
= ( 14 - 110 + 25 - 14 ) - 0 = ( 14 - 14 ) + ( -110 + 25 ) = 0 + 310 = 310
Substituindo e :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados