Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde
é a regiāo limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é limitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e como inverter a ordem de integração. Isso envolve um pouco de cálculo integral e análise das curvas que delimitam a região.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas
e
para entender melhor a região
. A curva
é uma parábola que abre para a direita, enquanto
é uma parábola que abre para cima. Encontrando os pontos de interseção dessas duas curvas, temos:
Então, as duas curvas se interceptam em
e
.
Passo 3
Agora, para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração. Originalmente, a integral está configurada como:
Mas o exercício pede para inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar os limites de
em termos de
. Observando as curvas:
- De
, temos - De
, temos
Portanto, para um dado
,
varia de
até
. Além disso,
varia de 0 até 1, já que as curvas se interceptam nesses valores.
Passo 5
Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a
:
Integrando termo a termo:
Substituindo
e
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Determine o vetor tangente unitário da função vetorial:
Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde
.
Calcule a integral de linha:
onde
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.
Considere o campo vetorial
em que a e b sāo constantes. Determine valores de a e b para os quais
é um campo conservativo.