Determine o vetor tangente unitário da função vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o vetor tangente unitário da função vetorial dada:
Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com vetores tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para achar o vetor velocidade, depois normalizar esse vetor para obter o vetor tangente unitário no ponto onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é o vetor velocidade
. A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a direção e a velocidade do movimento.
Derivando cada componente:
- Para
: - Para
: - Para
:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor velocidade
. A magnitude nos dá o comprimento do vetor, que é necessária para normalizar o vetor e obter o vetor tangente unitário.
A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso em
:
Passo 4
Com a magnitude em mãos, podemos agora encontrar o vetor tangente unitário
dividindo cada componente de
pela sua magnitude:
Passo 5
Finalmente, vamos substituir
na expressão de
para encontrar o vetor tangente unitário no ponto específico.
Calculando
:
Agora, a magnitude de
:
Então, o vetor tangente unitário em
é:
Resposta
O vetor tangente unitário da função vetorial em
é:
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Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde
.
Determine
, dado que
e
.
Calcule a integral e inverta a ordem de integração:
onde
é a regiāo limitada por
.
Calcule a integral de linha:
onde
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.