Determine o vetor tangente unitário da função vetorial:
r(t) = (t^3 + 3t) i + (t^2 + 1) j + (3t + 4) k
emt = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o vetor tangente unitário da função vetorial dada:
r(t) = (t^3 + 3t) i + (t^2 + 1) j + (3t + 4) k
Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com vetores tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para achar o vetor velocidade, depois normalizar esse vetor para obter o vetor tangente unitário no ponto onde .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t) = (t^3 + 3t) i + (t^2 + 1) j + (3t + 4) k em relação a , que é o vetor velocidade . A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a direção e a velocidade do movimento.
Derivando cada componente:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude desse vetor velocidade . A magnitude nos dá o comprimento do vetor, que é necessária para normalizar o vetor e obter o vetor tangente unitário.
A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso em :

Passo 4

Com a magnitude em mãos, podemos agora encontrar o vetor tangente unitário dividindo cada componente de pela sua magnitude:

Passo 5

Finalmente, vamos substituir na expressão de para encontrar o vetor tangente unitário no ponto específico.
Calculando :
Agora, a magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário em é:

Resposta

O vetor tangente unitário da função vetorial em é:

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