Calcule a integral invertendo a ordem de integração .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral invertendo a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como redefinir os limites de integração quando invertemos a ordem e aplicar esse conceito para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que varia de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de 0 até . Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no primeiro quadrante, abaixo da linha .

Passo 3

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração.
Originalmente:
  • vai de 0 a 1.
  • Para cada , vai de 0 a .
Depois de inverter:
  • vai de 0 a 1.
  • Para cada , vai de a 1.

Passo 4

Com os novos limites, a integral invertida fica:

Passo 5

Agora, podemos resolver a integral interna em relação a . Como não depende de , a integral interna é simples:

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
Essa é a integral final após inverter a ordem de integração. Note que a função não possui uma primitiva elementar, o que significa que não podemos expressar essa integral em termos de funções elementares conhecidas.

Resposta

A integral invertida é:

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