Calcule a integral invertendo a ordem de integração
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral invertendo a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente mudando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como redefinir os limites de integração quando invertemos a ordem e aplicar esse conceito para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos que
varia de 0 a 1 e, para cada valor de
,
varia de 0 até
. Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no primeiro quadrante, abaixo da linha
.
Passo 3
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração.
Originalmente:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de 0 a .
Depois de inverter:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de a 1.
Passo 4
Com os novos limites, a integral invertida fica:
Passo 5
Agora, podemos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, a integral interna é simples:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
Essa é a integral final após inverter a ordem de integração. Note que a função
não possui uma primitiva elementar, o que significa que não podemos expressar essa integral em termos de funções elementares conhecidas.
Resposta
A integral invertida é:
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O raio de um cone circular aumenta a uma taxa de
enquanto que a altura decresce a uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume do cone quando seu raio é de 1 m e sua altura 2 m ?
Obtenha o valor do limite das seguintes funções
© Ao colocar
no seu resultado da parte (a), expresse
como a soma de uma série infinita.