O raio de um cone circular aumenta a uma taxa de enquanto que a altura decresce a uma taxa de . Qual a taxa de variação do volume do cone quando seu raio é de 1 m e sua altura 2 m ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo relacionado. A gente precisa achar como o volume de um cone está mudando no tempo quando sabemos como o raio e a altura estão mudando. Para isso, vamos precisar da fórmula do volume do cone e usar derivadas para relacionar as taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. Ela é dada por:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base do cone,
  • é a altura do cone,
  • é uma constante (aproximadamente 3,1416).

Passo 3

Agora, vamos ver como o volume muda com o tempo. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo . Usamos a regra da derivada para produtos e potências:
Aqui:
  • é a taxa de variação do volume que queremos encontrar,
  • é a taxa de variação do raio,
  • é a taxa de variação da altura.

Passo 4

Vamos agora substituir os valores que foram dados no problema:
  • Quando m,
  • m,
  • m/s (o raio está aumentando),
  • m/s (a altura está diminuindo).
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular
  2. Multiplicar por (que é ):
  3. Então,
  4. Calcular
  5. Multiplicar por :
  6. Somar os dois resultados:
  7. Multiplicar por :

Resposta

A taxa de variação do volume do cone quando o raio é 1 m e a altura é 2 m é .

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