O raio de um cone circular aumenta a uma taxa de
enquanto que a altura decresce a uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume do cone quando seu raio é de 1 m e sua altura 2 m ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo relacionado. A gente precisa achar como o volume de um cone está mudando no tempo quando sabemos como o raio e a altura estão mudando. Para isso, vamos precisar da fórmula do volume do cone e usar derivadas para relacionar as taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. Ela é dada por:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base do cone, -
é a altura do cone, -
é uma constante (aproximadamente 3,1416).
Passo 3
Agora, vamos ver como o volume muda com o tempo. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Usamos a regra da derivada para produtos e potências:
Aqui:
-
é a taxa de variação do volume que queremos encontrar, -
é a taxa de variação do raio, -
é a taxa de variação da altura.
Passo 4
Vamos agora substituir os valores que foram dados no problema:
- Quando
m, -
m, -
m/s (o raio está aumentando), -
m/s (a altura está diminuindo).
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular
- Multiplicar por
(que é ): - Então,
- Calcular
- Multiplicar por
: - Somar os dois resultados:
- Multiplicar por
:
Resposta
A taxa de variação do volume do cone quando o raio é 1 m e a altura é 2 m é
.
Exercícios relacionados
Estime o valor da integral
, onde D é o disco de raio 2 centrado na origem.
Obtenha o valor do limite das seguintes funções
Calcule a integral invertendo a ordem de integração
.