Cálcule as integral nos itens seguintes utilizando a fórmula de mudança de váriavel na integral.
与 (a)
与 (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando a técnica de mudança de variável, também conhecida como substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral:
. Notamos que temos uma função composta, onde
está dentro da raiz quadrada. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
de forma que a parte complicada da integral seja substituída por uma expressão mais simples.
Passo 3
Vamos escolher
. Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Calculando:
Daí, podemos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
. Observando
, podemos escrever
, e como
, temos:
Substituindo tudo na integral:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos expandir
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Distribuindo o
:
Passo 7
Agora, vamos voltar à variável
substituindo
:
Resposta
Portanto, a integral definida é:
Para encontrar o valor numérico, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Calculando os valores:
Após calcular, você obterá o valor final da integral.