Cálcule as integral nos itens seguintes utilizando a fórmula de mudança de váriavel na integral.
与 (a) integral-1^0 raiz1+x^2 x^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando a técnica de mudança de variável, também conhecida como substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral: . Notamos que temos uma função composta, onde está dentro da raiz quadrada. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável de forma que a parte complicada da integral seja substituída por uma expressão mais simples.

Passo 3

Vamos escolher du = 2x , dx . Agora, precisamos encontrar x , dx = du2 , que é a derivada de em relação a . Calculando:
Daí, podemos isolar :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de x^4 = (x^2)^2 = (u - 1)^2 . Observando integral raizu cdot (u - 1)^2 cdot du2 , podemos escrever 12 integral u^1/2 (u - 1)^2 , du , e como , temos:
Substituindo tudo na integral:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos expandir (u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1 :
12 integral u^1/2 (u^2 - 2u + 1) , du = 12 integral ( u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2 ) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 ( u^7/272 - 2 cdot u^5/252 + u^3/232 ) + C
Simplificando os coeficientes:
12 ( 27 u^7/2 - 45 u^5/2 + 23 u^3/2 ) + C
Distribuindo o 17 u^7/2 - 25 u^5/2 + 13 u^3/2 + C :

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável 17 (1 + x^2)^7/2 - 25 (1 + x^2)^5/2 + 13 (1 + x^2)^3/2 + C substituindo :

Resposta

Portanto, a integral definida é:
integral-1^0 raiz1+x^2 , x^5 , dx = [ 17 (1 + x^2)^7/2 - 25 (1 + x^2)^5/2 + 13 (1 + x^2)^3/2 ]-1^0
Para encontrar o valor numérico, substituímos os limites de integração:
Para 17(1 + 0)^7/2 - 25(1 + 0)^5/2 + 13(1 + 0)^3/2 = 17 - 25 + 13 :
17(1 + 1)^7/2 - 25(1 + 1)^5/2 + 13(1 + 1)^3/2 = 17(2)^7/2 - 25(2)^5/2 + 13(2)^3/2
Para ( 17 - 25 + 13 ) - ( 17 cdot 2^3.5 - 25 cdot 2^2.5 + 13 cdot 2^1.5 ) :
Calculando os valores:
Após calcular, você obterá o valor final da integral.

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