Demonstre cada afirmação usando a definição de limite
e
. (d)
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
, onde
. Estamos trabalhando com o conteúdo de limites usando a definição com
e
. Para isso, vamos mostrar que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 2
Começamos com a expressão que queremos que seja menor que
:
Para simplificar essa expressão, vamos eliminar a raiz. Multiplicamos e dividimos pelo conjugado:
Passo 3
Agora, queremos que essa fração seja menor que
:
Para garantir que isso aconteça, precisamos controlar o denominador. Observamos que, como
e
está próximo de
,
está sempre positiva. Podemos então encontrar um limite inferior para
.
Passo 4
Suponha que
, isso implica que
está entre
e
. Assim,
. Como
,
, mas para garantir positividade, escolhemos um intervalo que mantenha
. Por exemplo, podemos assumir que
, então:
Passo 5
Voltando à nossa desigualdade:
Usando o limite inferior encontrado:
Portanto, basta escolher
tal que:
Resposta
Escolhemos
. Assim, para todo
, se
, então
. Portanto,
foi demonstrado usando a definição com
e
.