Demonstre cada afirmação usando a definição de limite com epsilon e de. (d) lim x c raiz6+x=raiz6+c, c>-6.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x c raiz6+x=raiz6+c, onde c > -6. Estamos trabalhando com o conteúdo de limites usando a definição com epsilon e de. Para isso, vamos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que, se |x - c| < de, então |raiz6+x - raiz6+c| < epsilon.

Passo 2

Começamos com a expressão que queremos que seja menor que epsilon:
|raiz6+x - raiz6+c| < epsilon
Para simplificar essa expressão, vamos eliminar a raiz. Multiplicamos e dividimos pelo conjugado:
|raiz6+x - raiz6+c| = |( raiz6+x - raiz6+c ) ( raiz6+x + raiz6+c )||raiz6+x + raiz6+c| = |x - c||raiz6+x + raiz6+c|

Passo 3

Agora, queremos que essa fração seja menor que epsilon:
|x - c||raiz6+x + raiz6+c| < epsilon
Para garantir que isso aconteça, precisamos controlar o denominador. Observamos que, como c > -6 e x está próximo de c, raiz6+x está sempre positiva. Podemos então encontrar um limite inferior para |raiz6+x + raiz6+c|.

Passo 4

Suponha que |x - c| < 1, isso implica que x está entre c - 1 e c + 1. Assim, 6 + x >= 6 + c - 1. Como c > -6, 6 + c - 1 > -6 + 6 -1 = -1, mas para garantir positividade, escolhemos um intervalo que mantenha 6 + x >= m > 0. Por exemplo, podemos assumir que 6 + x >= m = 5, então:
|raiz6+x + raiz6+c| >= raiz5 + raiz6+c

Passo 5

Voltando à nossa desigualdade:
|x - c||raiz6+x + raiz6+c| < epsilon
Usando o limite inferior encontrado:
|x - c|raiz5 + raiz6+c < epsilon
Portanto, basta escolher de tal que:
|x - c| < de

Resposta

Escolhemos de. Assim, para todo epsilon > 0, se |x - c| < de, então |raiz6+x - raiz6+c| < epsilon. Portanto, lim x c raiz6+x=raiz6+c foi demonstrado usando a definição com epsilon e de.

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