Sejam com para todo . Suponha que . Mostre que existe tal que
Interprete graficamente a conclusão.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções reais e , onde nunca é zero. Sabemos que o limite de quando se aproxima de é zero. Nosso objetivo é mostrar que existe um número tal que, sempre que estiver dentro de de (mas diferente de ), o valor absoluto de é menor que o valor absoluto de . Além disso, precisamos interpretar isso graficamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de , o quociente fica cada vez mais próximo de zero. Em termos práticos, podemos dizer que para qualquer número pequeno , podemos encontrar um intervalo ao redor de onde .
Passo 3
Vamos escolher | f(x)g(x) | < 1 . Com isso, existe um tal que, se , então:
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados dessa desigualdade por |f(x)| < |g(x)| (que é sempre positivo, já que ):
Isso mostra exatamente o que queríamos: que dentro desse intervalo , o valor absoluto de é menor que o de .
Passo 5
Graficamente, isso significa que, perto de , o gráfico de está dentro do “envelope” definido por . Imagine que forma duas curvas simétricas acima e abaixo do eixo . A condição indica que o gráfico de está sempre entre essas duas curvas perto de .
Resposta
Existe tal que, se , então . Graficamente, isso significa que o gráfico de está confinado entre as curvas e nas proximidades de .