Determine as derivadas parciais das funções a seguir:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas parciais. A função que vamos trabalhar é
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções que ficam com mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto, pois temos um produto de
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Como
é constante em relação a
,
. Então, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Novamente, usamos a regra do produto:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Passo 5
Voltando à derivada parcial, temos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como constante.
A função é
. Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e