Um frasco de vidro a está completamente cheio com 891 g de mercúrio. Qual a massa de mercúrio necessária para que o frasco fique cheio a ? (O coeficiente de dilatação linear do vidro é ; o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a massa de mercúrio necessária para encher um frasco de vidro a uma temperatura diferente. A gente vai usar conceitos de dilatação térmica, que é como os materiais mudam de tamanho quando a temperatura muda. Vamos precisar entender a dilatação linear do vidro e a dilatação volumétrica do mercúrio para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de temperatura. O frasco está a e vai esfriar para . A diferença de temperatura ( ) é:
Esse valor negativo indica que a temperatura está diminuindo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a dilatação volumétrica do vidro. A dilatação volumétrica ( ) é aproximadamente três vezes a dilatação linear ( ) para materiais que se expandem de forma uniforme. Então:
Isso significa que o volume do vidro vai mudar de acordo com essa taxa.

Passo 4

Agora, vamos considerar a dilatação do mercúrio. A dilatação volumétrica do mercúrio é dada por:
Isso indica como o volume do mercúrio muda com a temperatura.

Passo 5

O próximo passo é encontrar a relação entre as mudanças de volume do vidro e do mercúrio para manter o frasco cheio. A massa de mercúrio necessária a ( ) pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde:
  • (massa inicial de mercúrio)

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos os termos no numerador e denominador.

Passo 7

Calculando o numerador:
Calculando o denominador:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na fórmula:

Resposta

A massa de mercúrio necessária para que o frasco fique cheio a é aproximadamente 909 gramas.

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Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(iv)
Observamos diariamente que objetos quentes e frios esfriam ou se esquentam até a temperatura do meio ambiente. Se a diferença de temperatura entre um objeto e sua vizinhança ( ) não for muito
grande, a taxa de resfriamento ou aquecimento do objeto será proporcional, aproximadamente, à diferença de temperatura, isto é,
em que é uma constante. O sinal negativo aparece porque decrescerá com o tempo se for positivo e aumentará se for negativo. Esta é conhecida com lei de Newton do resfriamento.
(a) De que fatores depende ? Qual a sua dimensão?
(b) Se, no instante , a diferença de temperatura é , mostre que é igual a num tempo posterior.
Encontre o limite ou demonstre que não existe:
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.