Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 e^x^2+y^2 d y d x
Dica: Desenhe a região. Em seguida, resolva a integral utilizando a mudança de variáveis. A resposta é 14 pi(e-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada que você mandou. A gente vai usar coordenadas polares pra facilitar. Pra isso, precisamos saber sobre integrais duplas e a mudança de coordenadas de cartesianas para polares. Vamos precisar desenhar a região de integração e entender como ela fica no plano polar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A integral é de de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 até . Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante, já que .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por x = r cos theta e y = r sin theta , onde é a distância até a origem e é o ângulo com o eixo . As relações são:
E o elemento de área vira .

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. Como a região é um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante:
r varia de 0 a 1
theta varia de 0 a pi2

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^1 integral0^raiz1 - x^2 e^x^2+y^2 , dy , dx = integral0^pi2 integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Agora, vamos resolver a integral interna em integral0^1 r e^r^2 , dr :
12 integral0^1 e^u , du = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)
Fazendo a substituição integral0^pi2 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) cdot pi2 = pi4 (e - 1) , , então:
Agora, integramos em :

Resposta

A integral vale .

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