Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares:
Dica: Desenhe a região. Em seguida, resolva a integral utilizando a mudança de variáveis. A resposta é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada que você mandou. A gente vai usar coordenadas polares pra facilitar. Pra isso, precisamos saber sobre integrais duplas e a mudança de coordenadas de cartesianas para polares. Vamos precisar desenhar a região de integração e entender como ela fica no plano polar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A integral é de
de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 até
. Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante, já que
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo
. As relações são:
E o elemento de área
vira
.
Passo 4
Vamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. Como a região é um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante:
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Agora, vamos resolver a integral interna em
:
Fazendo a substituição
,
, então:
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Mostre que o número
é inteiro.
Seja
.Resolva a equação
.
Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
e
? Qual a equação da reta que passa por estes pontos?
Calcule a derivada de:
c)
c)