Mostre que o número
é inteiro.
Passo 1
Então, a gente tem um número definido pela expressão
. O que a gente precisa mostrar aqui é que esse número
é inteiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra, mais especificamente de equações quadráticas, e entender como resolver expressões com radicais infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa expressão com radicais infinitos. Quando temos uma expressão tipo
, isso quer dizer que
se repete dentro de si mesmo. Então, podemos reescrever a expressão assim:
Passo 3
Agora, para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso transforma a equação radical em uma equação quadrática mais fácil de resolver.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação quadrática para trazê-la para a forma padrão
:
Passo 5
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui,
,
e
.
Passo 6
Vamos calcular o discriminante (
) primeiro:
Passo 7
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Como estamos lidando com uma expressão que envolve raízes quadradas,
deve ser um número positivo. Portanto, descartamos a solução negativa
.
Resposta
O número
é igual a 3, que é um número inteiro.
Exercícios relacionados
Seja
.Resolva a equação
.
a) Qual o valor de
na equação
de modo que
seja uma raíz dessa equação?
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares:
Dica: Desenhe a região. Em seguida, resolva a integral utilizando a mudança de variáveis. A resposta é
Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
e
? Qual a equação da reta que passa por estes pontos?