Mostre que o número x = raiz(6 + raiz(6 + raiz(6 + ...)) ) é inteiro.

Passo 1

Então, a gente tem um número definido pela expressão . O que a gente precisa mostrar aqui é que esse número é inteiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra, mais especificamente de equações quadráticas, e entender como resolver expressões com radicais infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa expressão com radicais infinitos. Quando temos uma expressão tipo , isso quer dizer que se repete dentro de si mesmo. Então, podemos reescrever a expressão assim:

Passo 3

Agora, para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso transforma a equação radical em uma equação quadrática mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação quadrática para trazê-la para a forma padrão :

Passo 5

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, , e .

Passo 6

Vamos calcular o discriminante ( ) primeiro:

Passo 7

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Como estamos lidando com uma expressão que envolve raízes quadradas, deve ser um número positivo. Portanto, descartamos a solução negativa .

Resposta

O número é igual a 3, que é um número inteiro.

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