Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 e^x^2+y^2 d y d x
Dica: Desenhe a região. Em seguida, resolva a integral utilizando a mudança de variáveis. A resposta é 14 pi(e-1).

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla e transformar para coordenadas polares. O enunciado é:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 e^x^2+y^2 , dy , dx
O conteúdo que vamos usar aqui é a integração dupla e a mudança de coordenadas para polares. Precisamos entender como converter essa integral de coordenadas cartesianas (x e y) para coordenadas polares (r e θ) para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de x vão de 0 a 1, e para cada x, y vai de 0 até √(1 - x²). Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio 1.
Em coordenadas polares, a relação entre as coordenadas cartesianas e polares é dada por:
Além disso, a área em coordenadas polares inclui um fator jacobiano que é . Isso significa que nossa integral dupla vai mudar de forma para incorporar esse fator.

Passo 3

Vamos fazer a mudança para coordenadas polares. Substituindo x e y, temos:
e^x^2+y^2 = e^r^2
E o diferencial de área integral0^pi2 integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dθ vira . Então, a integral original transforma-se em:
Aqui, os novos limites são:
  • vai de 0 a (primeiro quadrante)
  • vai de 0 a 1 (raio do círculo)

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 e^r^2 cdot r , dr :
12 integral0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e - 1)
Fazendo a substituição integral0^pi2 dθ = pi2 , então 12 (e - 1) times pi2 = 14 pi (e - 1) ou :
Agora, integramos em relação a :
Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

14 pi (e - 1)

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