Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares:
Dica: Desenhe a região. Em seguida, resolva a integral utilizando a mudança de variáveis. A resposta é
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla e transformar para coordenadas polares. O enunciado é:
O conteúdo que vamos usar aqui é a integração dupla e a mudança de coordenadas para polares. Precisamos entender como converter essa integral de coordenadas cartesianas (x e y) para coordenadas polares (r e θ) para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites de x vão de 0 a 1, e para cada x, y vai de 0 até √(1 - x²). Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio 1.
Em coordenadas polares, a relação entre as coordenadas cartesianas e polares é dada por:
Além disso, a área em coordenadas polares inclui um fator jacobiano que é
. Isso significa que nossa integral dupla vai mudar de forma para incorporar esse fator.
Passo 3
Vamos fazer a mudança para coordenadas polares. Substituindo x e y, temos:
E o diferencial de área
vira
. Então, a integral original transforma-se em:
Aqui, os novos limites são:
-
vai de 0 a (primeiro quadrante) -
vai de 0 a 1 (raio do círculo)
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
ou
:
Agora, integramos em relação a
:
Multiplicando os resultados das integrais: