Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está em coordenadas cartesianas e converter para coordenadas polares. O enunciado é:
Estamos lidando com integrais duplas e coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas
para polares
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral está de
a
e de
a
. Isso descreve a metade esquerda de um círculo com raio 4, centrado na origem.
Passo 3
Em coordenadas polares,
e
. O raio
varia de 0 a 4 e o ângulo
varia de
a
, já que estamos no lado esquerdo do círculo.
Passo 4
A área diferencial em coordenadas polares é
. Então, nossa integral dupla em polares fica:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Então, nossa integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Aplicando os limites:
Então, a integral fica:
Resposta
O valor da integral é
.
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Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de
.
c-
c-
Calcule os seguintes limites.
(f)
(f)