Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está em coordenadas cartesianas e converter para coordenadas polares. O enunciado é:
Estamos lidando com integrais duplas e coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para polares .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral está de a e de a . Isso descreve a metade esquerda de um círculo com raio 4, centrado na origem.

Passo 3

Em coordenadas polares, e . O raio varia de 0 a 4 e o ângulo varia de a , já que estamos no lado esquerdo do círculo.

Passo 4

A área diferencial em coordenadas polares é . Então, nossa integral dupla em polares fica:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando os limites:
Então, a integral fica:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de .
c-
Calcule os seguintes limites.
(f)