Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral-4^0 integral-raiz16-x^2^raiz16-x^2 3 x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está em coordenadas cartesianas e converter para coordenadas polares. O enunciado é:
integral-4^0 integral-raiz16-x^2^raiz16-x^2 3x , dy , dx
Estamos lidando com integrais duplas e coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para polares .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral está de a e de a . Isso descreve a metade esquerda de um círculo com raio 4, centrado na origem.

Passo 3

Em coordenadas polares, e . O raio varia de 0 a 4 e o ângulo varia de a , já que estamos no lado esquerdo do círculo.

Passo 4

A área diferencial em coordenadas polares é integralpi2^3pi2 integral0^4 3(r cos theta) cdot r , dr , dtheta . Então, nossa integral dupla em polares fica:
3 integralpi2^3pi2 integral0^4 r^2 cos theta , dr , dtheta
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^4 r^2 , dr = [r^33]0^4 = 643 :
3 cdot 643 integralpi2^3pi2 cos theta , dtheta = 64 integralpi2^3pi2 cos theta , dtheta
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral cos theta , dtheta = sin theta :
sin(3pi2) - sin(pi2) = (-1) - (1) = -2
Aplicando os limites:
64 cdot (-2) = -128
Então, a integral fica:

Resposta

O valor da integral é .

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