Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral0^a integral0^raiza^2-x^2 d y d x(1+x^2+y^2)^3 / 2 (a>0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
integral0^a integral0^raiza^2-x^2 dy,dx(1+x^2+y^2)^3 / 2 (a > 0)
Aqui, estamos lidando com uma região circular no primeiro quadrante (onde e são positivos) com raio . Para facilitar a resolução, vamos converter essa integral para coordenadas polares, onde as contas ficam mais simples em casos de simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas se transforma em em coordenadas polares. Isso porque a transformação inclui o jacobiano .

Passo 3

Vamos também expressar os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um quarto de círculo com raio r vai de 0 a a , os limites são:
theta vai de 0 a pi2

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original. A expressão 1 + x^2 + y^2 = 1 + r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = 1 + r^2 em coordenadas polares fica:
integral0^pi2 integral0^a r,dr,dtheta(1 + r^2)^3/2
Portanto, a integral em coordenadas polares fica:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes, uma que depende de ( integral0^pi2 dtheta ) ( integral0^a r,dr(1 + r^2)^3/2 ) e outra que depende de integral0^pi2 dtheta = pi2 :
A primeira integral é simples:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral em integral0^a r,dr(1 + r^2)^3/2 :
12 integral1^1 + a^2 u^-3/2 du = 12 [ -2u^-1/2 ]1^1 + a^2 = -u^-1/2 g|1^1 + a^2
Fazemos uma substituição: seja - 1raiz1 + a^2 + 1 , então ou .
A integral fica:
Avaliar isso dá:

Passo 7

Agora, juntamos tudo:
pi2 (1 - 1raiz1 + a^2)

Resposta

A integral vale:
pi2 (1 - 1raiz1 + a^2)

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