Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Aqui, estamos lidando com uma região circular no primeiro quadrante (onde e são positivos) com raio . Para facilitar a resolução, vamos converter essa integral para coordenadas polares, onde as contas ficam mais simples em casos de simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas se transforma em em coordenadas polares. Isso porque a transformação inclui o jacobiano .
Passo 3
Vamos também expressar os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um quarto de círculo com raio , os limites são:
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral original. A expressão em coordenadas polares fica:
Portanto, a integral em coordenadas polares fica:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes, uma que depende de e outra que depende de :