Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Aqui, estamos lidando com uma região circular no primeiro quadrante (onde e são positivos) com raio . Para facilitar a resolução, vamos converter essa integral para coordenadas polares, onde as contas ficam mais simples em casos de simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas se transforma em em coordenadas polares. Isso porque a transformação inclui o jacobiano .

Passo 3

Vamos também expressar os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um quarto de círculo com raio , os limites são:

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original. A expressão em coordenadas polares fica:
Portanto, a integral em coordenadas polares fica:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes, uma que depende de e outra que depende de :
A primeira integral é simples:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral em :
Fazemos uma substituição: seja , então ou .
A integral fica:
Avaliar isso dá:

Passo 7

Agora, juntamos tudo:

Resposta

A integral vale:

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c-