Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é:
Aqui, estamos lidando com uma região circular no primeiro quadrante (onde
e
são positivos) com raio
. Para facilitar a resolução, vamos converter essa integral para coordenadas polares, onde as contas ficam mais simples em casos de simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas se transforma em
em coordenadas polares. Isso porque a transformação inclui o jacobiano
.
Passo 3
Vamos também expressar os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é um quarto de círculo com raio
, os limites são:
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral original. A expressão
em coordenadas polares fica:
Portanto, a integral em coordenadas polares fica:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes, uma que depende de
e outra que depende de
:
A primeira integral é simples:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral em
:
Fazemos uma substituição: seja
, então
ou
.
A integral fica:
Avaliar isso dá:
Passo 7
Agora, juntamos tudo:
Resposta
A integral vale: